📓 工科数学分析

第一章 一元函数的极限与连续

$\mathbf{\S }\mathbf{1.1}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{1.1}}\quad$实数集及其完备性

实数集的性质

实数集$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$具有四则运算的封闭性、有序性、稠密性、完备性。

四则运算的封闭性：任意两个实数进行四则（除法要求分母不为零）后，其结果仍是实数。

有序性：对于任意取定的两个实数$a$$a$和$b$$b$，它们必满足且仅满足下列三种关系之一：$a<b$$a<b$，$a=b$$a=b$，$a>b$$a>b$. 此外，若$a<b$$a<b$且$b<c$$b<c$，则必有$a<c$$a<c$.

稠密性：任意两个不相等的实数之间至少可以找到不同于这两个实数的第三个实数，因而任意两个实数之间必存在无穷多个实数。

完备性：也称连续性，实数集与数轴上的点存在一一对应的关系，即任意一个实数都唯一地对应数轴上的一个点；反之，数轴上的任意一点也唯一地对应一个实数。

有理数集$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}$只具有封闭性、有序性、稠密性。

界与确界

存在$\mathbb{R}$$\R$的非空子集$A$$A$，

若$\mathrm{\exists }L\in \mathbb{R}$$\exists L\in\R$，使得$\mathrm{\forall }x\in A$$\forall x\in A$，都有$x\le L$$x\leq L$，则称数集$A$$A$有上界（上有界），$L$$L$为$A$$A$的一个上界。

若$\mathrm{\exists }l\in \mathbb{R}$$\exists l\in\R$，使得$\mathrm{\forall }x\in A$$\forall x\in A$，都有$x\ge l$$x\geq l$，则称数集$A$$A$有下界（下有界），$l$$l$为$A$$A$的一个下界。

上确界：最小的上界；下确界：最小的下界。

确界存在原理（公理）：有上界（下界）的非空实数集必有上确界（下确界）。

数集$A$$A$的上确界$\beta$$\beta$记为$\beta =supA$$\beta=\sup A$，下确界$\alpha$$\alpha$记为$\alpha =infA$$\alpha=\inf A$.

若一个数集存在上确界（下确界），则此确界必是唯一的。

$\mathbf{\S }\mathbf{1.2}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{1.2}}\quad$数列极限

1.2.1 数列极限的概念

数列极限的“$\epsilon -N$$\varepsilon-N$”定义

设有数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$，$a$$a$是常数。若对任意给定的正数$\epsilon$$\varepsilon$，总存在正整数$N$$N$，使得当$n>N$$n>N$时，恒有$|x_n-a|<\epsilon$$|x_n-a|<\varepsilon$成立，则称数列$x_n$${x_n}$以$a$$a$为极限，记做$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$\lim_{n\to \infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to \mathrm{\infty })$$x_n\to a(n\to \infty)$.

定义简写为：$\mathrm{\forall }\epsilon >0$$\forall\varepsilon>0$，$\mathrm{\exists }N\in {\mathbb{N}}_{+}$$\exists N\in\mathbb{N}_+$，使得$n>N$$n>N$时，恒有$|x_n-a|<\epsilon \iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$|x_n-a|<\varepsilon \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}x_n=a$.

若找不到这样的常数，则称数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$没有极限、数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$发散。

1.2.2 数列极限的性质

数列极限的唯一性

若数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$收敛，则其极限唯一。

数列有界

若$\mathrm{\exists }L\in \mathbb{R}$$\exists L\in\R$，使得$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_{+}$$\forall n\in\N_+$，恒有$a_n\le L$$a_n\leq L$，则称数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$有上界，$L$$L$为数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$的一个上界。

若$\mathrm{\exists }l\in \mathbb{R}$$\exists l\in\R$，使得$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_{+}$$\forall n\in\N_+$，恒有$a_n\ge L$$a_n\geq L$，则称数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$有下界，$l$$l$为数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$的一个下界。

数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$既有上界又有下界，则$\{a_n\}$$\{a_n\}$为有界数列，否则为无界数列。

数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$有界：$\mathrm{\exists }M>0$$\exist M>0$，使得$|a_n|\le M(\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_{+})$$|a_n|\leq M(\forall n\in\N_+)$.

收敛数列的有界性

若$\{x_n\}$$\{x_n\}$收敛，则$\{x_n\}$$\{x_n\}$必有界，即$\mathrm{\exists }M>0，\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{+}}$$\exists M>0，\forall n\in\mathbb{N_+}$，有$|x_n|\le M.$$|x_n|\leq M.$

——数列收敛的必要条件

注意：收敛数列必有界，反之有界数列未必收敛。例如$\{(-1{)}^n\}$$\{(-1)^n\}$有界，但不收敛。

数列极限的保序性

若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=b$$\lim_{n\to\infty}y_n=b$，且$a<b$$a<b$，则$\mathrm{\exists }N\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{+}}$$\exists N\in\mathbb{N_+}$，使得$n>N$$n>N$时总有$x_n<y_n$$x_n<y_n$.

推论1 若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=b$$\lim_{n\to\infty}y_n=b$，且$x_n\le y_n$$x_n\leq y_n$，则$a\le b$$a\leq b$.

推论2 若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，且$a<b$$a<b$（或$a>b$$a>b$），则$\mathrm{\exists }N\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{+}}$$\exists N\in\mathbb{N_+}$，使得$n>N$$n>N$时总有$x_n<b$$x_n<b$（或$x_n>b$$x_n>b$）。

——数列极限的保号性

数列极限的绝对值性质

若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$\lim_{n\to\infty}a_n=a$，则数列$\{|a_n|\}$$\{|a_n|\}$也收敛，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n|=|a|$$\lim_{n\to\infty}|a_n|=|a|$.

数列极限的四则运算

设$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=b$$\lim_{n\to\infty}y_n=b$，则

Stolz公式

设数列$\{y_n\}$$\{y_n\}$为严格单增的正无穷大量，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}}=a$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=a$，其中$a$$a$为有限数或为$+\mathrm{\infty }$$+\infty$或$-\mathrm{\infty }$$-\infty$，则必有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x_n}{y_n}}=a$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_n}{y_n}=a$.

——离散版本的洛必达法则

解题时若要求$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}}$$\lim_{n\to\infty}\dfrac {f(n)}{g(n)}$，可令$x_n=f(n)$$x_n=f(n)$，$y_n=g(n)$$y_n=g(n)$，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(n+1)-f(n)}{g(n+1)-g(n)}}$$\lim_{n\to\infty}\dfrac {f(n)}{g(n)}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{f(n+1)-f(n)}{g(n+1)-g(n)}$.

数列极限的夹逼定理

设存在$N_0\in {\mathbb{N}}_{+}$$N_0\in\N_+$，使得

则数列$\{b_n\}$$\{b_n\}$收敛，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=a$$\lim_{n\to\infty}b_n=a$.

1.2.3 数列极限的判敛法则

数列单调的定义

对于数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$，满足$a_n\le a_{n+1}(a\ge a_{n+1}),\mathrm{\forall }n=1,2,\dots$$a_n\le a_{n+1}(a\ge a_{n+1}),\quad\forall n=1,2,\ldots$，则称$\{a_n\}$$\{a_n\}$为单增（单减）数列。

满足$a_n<a_{n+1}(a>a_{n+1}),\mathrm{\forall }n=1,2,\dots$$a_n<a_{n+1}(a>a_{n+1}),\quad\forall n=1,2,\ldots$，则称$\{a_n\}$$\{a_n\}$为严格单增（严格单减）数列。

单调有界原理

单增且有上界或单减且有下界的数列必收敛。

自然常数e

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}{)}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{n}}{)}^{n+1}=e\approx 2.71828\dots$$\lim_{n\to\infty}(1+\dfrac{1}{n})^n=\lim_{n\to\infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}=e\approx2.71828\ldots$.

闭区间套定理

若闭区间$\{[a_n,b_n]\}$$\{[a_n,b_n]\}$满足以下的两个条件：

则称这列闭区间列$\{[a_n,b_n]\}$$\{[a_n,b_n]\}$为一个闭区间套。

闭区间列$\{[a_n,b_n]\}$$\{[a_n,b_n]\}$为一个闭区间套，则存在唯一的实数$\xi$$\xi$，使得$\xi$$\xi$属于所有的闭区间，即$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_{+}$$\forall n\in \N_+$，都有$\xi \in [a_n,b_n]$$\xi\in[a_n,b_n]$，同时$\xi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$$\xi=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}a_n$.

数列的子列

有数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$，对于严格单增且趋向无穷大的正整数列$n_1<n_2<\cdots <n_k<n_{k+1}<\dots$$n_1<n_2<\dots<n_k<n_{k+1}<\dots$，$a_{n_1},a_{n_2},\dots ,a_{n_k},\dots$$a_{n_1},a_{n_2},\dots,a_{n_k},\dots$也构成一个数列，称为数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$的子列。

性质1 若数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$收敛于$a$$a$，则它的任意子列也收敛，且都收敛于$a$$a$.

性质2 设数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$有一个子列发散或有两个子列收敛于不同的极限值，则数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$发散。

拉链法则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a⟺\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{2n-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{2n}=a$$\lim_{n\to\infty}a_n=a\Longleftrightarrow\lim_{n\to\infty}a_{2n-1}=\lim_{n\to\infty}a_{2n}=a$.

致密性定理

也称Bolzano-Weierstrass（波尔查诺-魏尔斯特拉斯）定理

有界数列必有收敛的子列。

总结：数列收敛、有界与极限的关系

• 若数列收敛，则其极限唯一

• 若数列收敛，则其bb必有界。

• 有界数列未必收敛。

• 单增且有上界或单减且有下界的数列必收敛。

• 有界数列必有收敛的子列。

无界数列的性质

若数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$既有上界又有下界，则称$\{a_n\}$$\{a_n\}$为有界数列，否则称$\{a_n\}$$\{a_n\}$为无界数列。

无界数列不一定$\to \mathrm{\infty }$$\to\infty$.

若数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$无界，则存在其子列$\{x_{n_k}\}$$\{x_{n_k}\}$，使得$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}=\mathrm{\infty }$$\lim_{k\to\infty}x_{n_k}=\infty$.

数列的任一收敛子列的极限称为该数列的极限点。致密性定理表明，有界数列一定有（至少）一个极限点。

Cauchy收敛准则

若数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$满足：$\mathrm{\forall }\epsilon >0$$\forall\varepsilon>0$，总存在$N\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{+}}$$N\in\mathbb{N_+}$，使得当$m,n>N$$m,n>N$时，恒有$|a_n-a_m|<\epsilon$$|a_n-a_m|<\varepsilon$成立，则称数列$\{a_n\}$$\{a_n\}$为柯西列或基本列。

Cauchy列$\{a_n\}$$\{a_n\}$的等价定义：$\mathrm{\forall }\epsilon >0$$\forall\varepsilon>0$，$\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathbb{+}$$\exists N\in\mathbb{N+}$，总$\mathrm{\exists }m,n>N\in {\mathbb{N}}_{+},m>n$$\exists m,n>N\in\N_+,m>n$，使得$|a_m-a_n|<\epsilon$$|a_m-a_n|<\varepsilon$.

$\{a_n\}$$\{a_n\}$收敛$⟺\{a_n\}$$\Longleftrightarrow \{a_n\}$是柯西列。

$\{a_n\}$$\{a_n\}$发散的充要条件：$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0$$\exist\varepsilon_0>0$，使得$\mathrm{\forall }N\in {\mathbb{N}}_{+}$$\forall N\in\N_+$，总$\mathrm{\exists }m,n>N\in {\mathbb{N}}_{+}$$\exist m,n>N\in\N_+$，使得$|a_m-a_n|>{\epsilon }_0$$|a_m-a_n|>\varepsilon_0$.

实数系的基本定理

数列极限的Cauchy收敛准则表明，由实数构成的基本列必存在实数的极限，称为实数的完备性。

确界存在原理（实数的连续性）、单调有界原理、闭区间套定理、致密性定理、Cauchy收敛准则等价，每一个都可以称为实数系的基本定理。

$\mathbf{\S }\mathbf{1.3}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{1.3}}\quad$函数极限

1.3.1 函数极限的概念

$x\to \mathrm{\infty }$$x\to\infty$时函数$f(x)$$f(x)$的极限

$x\to \mathrm{\infty }$$x\to\infty$时函数极限的定义：函数$f(x)$$f(x)$在$|x|\ge \alpha (\alpha \in \mathbb{R})$$|x|\geq\alpha(\alpha\in\R)$时有定义，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X\ge \alpha$$\forall\varepsilon>0,\space\exists X\geq\alpha$，使得$\mathrm{\forall }|x|>X$$\forall|x|>X$，恒有$|f(x)-a|<\epsilon$$|f(x)-a|<\varepsilon$，则称当$x\to \mathrm{\infty }$$x\to\infty$时函数$f(x)$$f(x)$以$a$$a$为极限，记为$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=a$$\lim_{x\to\infty}f(x)=a$或$f(x)\to a(x\to \mathrm{\infty })$$f(x)\to a(x\to\infty)$.

若$x\to +\mathrm{\infty }$$x\to+\infty$或$x\to -\mathrm{\infty }$$x\to-\infty$，将这两种情形下$f(x)$$f(x)$的极限称为单侧极限。

$x\to +\mathrm{\infty }$$x\to+\infty$时函数极限的定义：函数$f(x)$$f(x)$在$x\ge \alpha (\alpha \in \mathbb{R})$$x\geq\alpha(\alpha\in\R)$时有定义，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X\ge \alpha$$\forall\varepsilon>0,\space\exists X\geq\alpha$，使得$\mathrm{\forall }x>X$$\forall x>X$，恒有$|f(x)-a|<\epsilon$$|f(x)-a|<\varepsilon$，则称当$x\to +\mathrm{\infty }$$x\to+\infty$时函数$f(x)$$f(x)$以$a$$a$为极限，记为$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$$\lim_{x\to+\infty}f(x)$.

$x\to -\mathrm{\infty }$$x\to-\infty$时函数极限的定义：函数$f(x)$$f(x)$在$x\le \alpha (\alpha \in \mathbb{R})$$x\leq\alpha(\alpha\in\R)$时有定义，若$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X\le \alpha$$\forall\varepsilon>0,\space\exists X\leq\alpha$，使得$\mathrm{\forall }x<X$$\forall x<X$，恒有$|f(x)-a|<\epsilon$$|f(x)-a|<\varepsilon$，则称当$x\to -\mathrm{\infty }$$x\to-\infty$时函数$f(x)$$f(x)$以$a$$a$为极限，记为$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$$\lim_{x\to-\infty}f(x)$.

根据定义可知：$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=a⟺\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=a$$\lim_{x\to\infty}f(x)=a\space\Longleftrightarrow\space\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=a$.

$x\to x_0$$x\rightarrow x_0$时函数$f(x)$$f(x)$的极限

$x\to x_0$$x\rightarrow x_0$时函数极限的定义：函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$的去心邻域$\mathring{N}(x_0,{\delta }_0)$$\mathring{N}(x_0,\delta_0)$内有定义，$a$$a$为一常数，$\mathrm{\forall }\epsilon >0$$\forall\varepsilon>0$，$\mathrm{\exists }\delta \in (0,{\delta }_0]$$\exists\delta\in(0,\delta_0]$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$$0<|x-x_0|<\delta$时，恒有$|f(x)-a|<\epsilon$$|f(x)-a|<\varepsilon$，则称$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处以$a$$a$为极限，记为$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=a$$\lim_{x\to x_0}f(x)=a$或$f(x)\to a(x\to x_0)$$f(x)\to a(x\to x_0)$.

若$x>x_0$$x>x_0$且$x$$x$趋于$x_0$$x_0$，记为$x\to x_0^{+}$$x\to x_0^+$；若$x<x_0$$x<x_0$且$x$$x$趋于$x_0$$x_0$，记为$x\to x_0^{-}$$x\to x_0^-$，将这两种情形下$f(x)$$f(x)$的极限也称为单侧极限。

$x\to x_0^{+}$$x\to x_0^+$时函数极限的定义：函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$的右邻域$(x_0,x_0+{\delta }_0)$$(x_0,x_0+\delta_0)$内有定义，$a$$a$为一常数，$\mathrm{\forall }\epsilon >0$$\forall\varepsilon>0$，$\mathrm{\exists }\delta \in (0,{\delta }_0]$$\exists\delta\in(0,\delta_0]$，使得当$0<x-x_0<\delta$$0<x-x_0<\delta$时，恒有$|f(x)-a|<\epsilon$$|f(x)-a|<\varepsilon$，则称$a$$a$为函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处的右极限，记作$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=a$$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=a$或$f(x_0+0)=a$$f(x_0+0)=a$.

$x\to x_0^{-}$$x\to x_0^-$时函数极限的定义：函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$的左邻域$(x_0-{\delta }_0,x_0)$$(x_0-\delta_0,x_0)$内有定义，$a$$a$为一常数，$\mathrm{\forall }\epsilon >0$$\forall\varepsilon>0$，$\mathrm{\exists }\delta \in (0,{\delta }_0]$$\exists\delta\in(0,\delta_0]$，使得当$0<x_0-x<\delta$$0<x_0-x<\delta$时，恒有$|f(x)-a|<\epsilon$$|f(x)-a|<\varepsilon$，则称$a$$a$为函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处的左极限，记作$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=a$$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=a$或$f(x_0-0)=a$$f(x_0-0)=a$.

根据定义可知：$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=a⟺\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=a$$\lim_{x\to x_0}f(x)=a\quad\Longleftrightarrow\quad\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=a$.

E.g. 符号函数$\begin{array}{c}\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0& \end{array}\end{array}$$\mathrm{sgn}(x)=\begin{cases}1,&x>0,\\0,&x=0,\\-1,&x<0&\end{cases}$在分段点$x_0=0$$x_0=0$处的极限不存在，$\because \underset{x\to 0^{+}}{lim}\mathrm{sgn}(x)=1$$\because\lim_{x\to 0^+}\mathrm{sgn}(x)=1$，而$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\mathrm{sgn}(x)=-1$$\lim_{x\to 0^-}\mathrm{sgn}(x)=-1$，左右极限不相等。

补充：三角函数倍角公式 $\begin{array}{rl}\sin 2\alpha & =2\sin \alpha \cos \alpha \\ \tan 2\alpha & ={\displaystyle \frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }}\\ \cos 2\alpha & ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha \end{array}$$\begin{align*} \sin2α&=2\sinα\cosα\\ \tan2α&=\dfrac{2\tanα}{1-\tan^2α}\\ \cos2α&=\cos^2α-\sin^2α=2\cos^2α-1=1-2\sin^2α \end{align*}$

$\begin{array}{rl}\sin 3\theta & =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta \\ \cos 3\theta & =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta \\ \sin 3\theta & =4\sin \theta \sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\theta )\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\theta )\\ \cos 3\theta & =4\cos \theta \cos ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\theta )\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\theta )\\ \tan 3\theta & =\tan \theta \tan ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-\theta )\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\theta )\end{array}$$\begin{align*} \sin3θ&=3\sinθ-4\sin^3θ\\ \cos3θ&=4\cos^3θ-3\cosθ\\ \sin3θ&=4\sinθ\sin(\dfrac\pi3-θ)\sin(\dfrac\pi3+θ)\\ \cos3θ&=4\cosθ\cos(\dfrac\pi3-θ)\cos(\dfrac\pi3+θ)\\ \tan3θ&=\tanθ\tan(\dfrac\pi3-θ)\tan(\dfrac\pi3+θ) \end{align*}$

补充：三角函数和差化积公式

$\begin{array}{rl}\sin \alpha +\sin \beta & =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \sin \alpha -\sin \beta & =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha +\cos \beta & =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}\\ \cos \alpha -\cos \beta & =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sin \frac{\alpha -\beta }{2}\end{array}$$\begin{align*} \sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \end{align*}$

$\begin{array}{rl}\sin \alpha \cdot \cos \beta & ={\displaystyle \frac{1}{2}}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \cdot \sin \beta & ={\displaystyle \frac{1}{2}}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]\\ \cos \alpha \cdot \cos \beta & ={\displaystyle \frac{1}{2}}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]\\ \sin \alpha \cdot \sin \beta & =-{\displaystyle \frac{1}{2}}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]\end{array}$$\begin{align*} \sin\alpha\cdot\cos\beta&=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos\alpha\cdot\sin\beta&=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos\alpha\cdot\cos\beta&=\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\ \sin\alpha\cdot\sin\beta&=-\dfrac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)] \end{align*}$

1.3.2 函数极限的性质

考虑函数极限时，自变量有以下变化过程：$x\to x_0$$x\to x_0$，$x\to x_0^{+}$$x\to x_0^+$，$x\to x_0^{-}$$x\to x_0^-$，$x\to \mathrm{\infty }$$x\to\infty$，$x\to +\mathrm{\infty }$$x\to+\infty$，$x\to -\mathrm{\infty }$$x\to-\infty$. 以下函数极限的性质对以上过程均成立，以$x\to x_0$$x\to x_0$为例。

唯一性

若$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，则极限值是唯一的。

局部有界性

若$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，则在点$x_0$$x_0$的某去心邻域内，函数$f(x)$$f(x)$有界。

即存在常数$\delta >0$$\delta>0$和$L>0$$L>0$，使得当$x\in \mathring{N}(x_0,\delta )$$x\in\mathring{N}(x_0,\delta)$时，恒有$|f(x)|\le L$$|f(x)|\le L$.

若$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，我们说$f(x)$$f(x)$在该处极限不存在。

局部保序性

若$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=a,\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=b$$\lim_{x\to x_0}f(x)=a,\lim_{x\to x_0}g(x)=b$且$a<b$$a<b$，则必$\mathrm{\exists }\delta >0$$\exist\delta>0$，使得当$x\in \mathring{N}(x_0,\delta )$$x\in\mathring{N}(x_0,\delta)$时，恒有$f(x)<g(x)$$f(x)<g(x)$.

局部保号性

若$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=a<0$$\lim_{x\to x_0}f(x)=a<0$，则$\mathrm{\exists }\delta >0$$\exist\delta>0$，使得当$x\in \mathring{N}(x_0,\delta )$$x\in\mathring{N}(x_0,\delta)$时，恒有$f(x)<0$$f(x)<0$.

Heine定理（归并原理）

——函数极限和数列极限的关系

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow$对任意数列$x_n$${x_n}$，$x_n\ne x_0$$x_n\neq x_0$，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x_0$$\lim_{n\to\infty}x_n=x_0$，有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=A$$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$

常用于说明没有极限。

函数极限的四则运算法则

当$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$\lim_{x\to x_0}f(x)$和$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$$\lim_{x\to x_0}g(x)$均存在时，有：

函数极限的线性运算法则

设$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=a$$\lim_{x\to x_0}f(x)=a$，$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=b$$\lim_{x\to x_0}g(x)=b$. 若$k_1,k_2\in \mathbb{R}$$k_1,k_2\in\R$，则$\underset{x\to x_0}{lim}(k_{1}f(x)+k_{2}g(x))$$\lim_{x\to x_0}\left(k_1f(x)+k_2g(x)\right)$也存在，且

多项式函数

称$P_n(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$$P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$为多项式函数。对于多项式函数，$P_n(x)$$P_n(x)$在点$x_0$$x_0$处的极限等于它在该点处的函数值$P_n(x_0)$$P_n(x_0)$.

有多项式函数$P_n(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$$P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$和$Q_m(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_m$$Q_m(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_m$，称${\displaystyle \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}}$$\dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}$为有理函数。

当$Q_m(x_0)\ne 0$$Q_m(x_0)\neq0$时，$\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}}={\displaystyle \frac{P_n(x_0)}{Q_m(x_0)}}$$\lim_{x\to x_0}\dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\dfrac{P_n(x_0)}{Q_m(x_0)}$.

当$n<m$$n<m$且$b_0\ne 0$$b_0\neq0$时，$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}}=0$$\lim_{x\to\infty}\dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}=0$.

当$n=m$$n=m$且$b_0\ne 0$$b_0\neq0$时，$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}}={\displaystyle \frac{a_0}{b_0}}$$\lim_{x\to\infty}\dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}=\dfrac{a_0}{b_0}$.

复合函数的极限运算法则

若$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=u_0$$\lim_{x\to x_0}g(x)=u_0$，$\underset{u\to u_0}{lim}f(u)=a$$\lim_{u\to u_0}f(u)=a$，且当$x\in \mathring{N}(x_0,{\delta }_0)$$x\in\mathring{N}(x_0,\delta_0)$时$g(x)\ne u_0$$g(x)\neq u_0$，则$f(g(x))$$f(g(x))$在点$x_0$$x_0$处极限存在，且

1.3.3 函数极限的判敛法则

夹逼定理

设存在函数$f(x)$$f(x)$，$g(x)$$g(x)$和$h(x)$$h(x)$，满足

则$f(x)$$f(x)$在$x_0$$x_0$处的极限存在，$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=a$$\lim_{x\to x_0}f(x)=a$.

单调有界原理

设函数$f:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$$f:A\subseteq\R\to\R$，其值域为$R(f)=f(A)=\{f(x)|x\in A\}$$R(f)=f(A)=\{f(x)|x\in A\}$，

若$R(f)$$R(f)$有上界（下界），则称函数$f(x)$$f(x)$在$A$$A$有上界（下界）。既有上界又有下界的函数称为有界函数。有界函数的定义等价于：$\mathrm{\exists }L>0$$\exist L>0$，使得$\mathrm{\forall }x\in A$$\forall x\in A$，恒有$|f(x)|\le L$$|f(x)|\leq L$.

称$R(f)$$R(f)$的上确界（下确界）$s$$s$为函数$f(x)$$f(x)$在$A$$A$上的上确界（下确界），记为

设函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,+\mathrm{\infty })(a\in \mathbb{R})$$[a,+\infty)(a\in\R)$上单增且有上界或单减且有下界，则$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$$\lim_{x\to+\infty}f(x)$存在。

设函数$f(x)$$f(x)$在开区间$I$$I$内单调，则$f(x)$$f(x)$在$I$$I$内的每一点处的左、右极限都存在。

Cauchy收敛准则

设函数$f(x)$$f(x)$在$\mathring{N}(x_0,{\delta }_0)$$\mathring N(x_0,\delta_0)$内有定义，则$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在的充要条件是：$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta \in (0,{\delta }_0)$$\forall\varepsilon>0,\exist\delta\in(0,\delta_0)$，使得$\mathrm{\forall }{x}^{\prime },x^{″}$$\forall x',x''$，只要$x^{\prime },x^{″}\in \mathring{N}(x_0,\delta )$$x',x''\in\mathring N(x_0,\delta)$，就有$|f(x^{\prime })-f(x^{″})|<\epsilon$$|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$.

1.3.4 两个重要极限

$\mathbf{\S }\mathbf{1.4}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{1.4}}\quad$无穷小量与无穷大量

1.4.1 无穷小量

无穷小量的定义

若$limX=0$$\lim X=0$，则称$X$$X$为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小。

解题时不能仅写$limX$$\lim X$，需要指明极限过程为以下的一种：

无穷小量的性质

有限个同类型无穷小量的代数和、差、乘积是无穷小量。

无限个无穷小量的和不一定是无穷小量，如：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\stackrel{n\text{个}}{\overbrace{{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}+\dots +{\displaystyle \frac{1}{n}}}})=1$$\lim_{n\to\infty}(\overbrace{\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\ldots+\dfrac{1}{n}}^{n个})=1$.

无穷小量乘以有界量，仍为无穷小量。

$limX=A$$\lim X=A$的充要条件是$X=A+\alpha$$X=A+\alpha$，其中$\alpha$$\alpha$为无穷小量，即$lim\alpha =0$$\lim\alpha=0$.

1.4.2 无穷小量的比较

无穷小量的阶

两个无穷小量之比的极限为${\displaystyle \frac{0}{0}}$$\dfrac{0}{0}$未定型。

设$X$$X$和$Y$$Y$为同一极限过程中的两个无穷小量，

若$lim{\displaystyle \frac{X}{Y}}=0$$\lim\dfrac{X}{Y}=0$，则称$X$$X$是$Y$$Y$的高阶无穷小，也称$Y$$Y$是$X$$X$的低阶无穷小，记为$X=o(Y)$$X=o(Y)$.

$Z=o(1)$$Z=o(1)$表示$Z$$Z$是无穷小量。

若$\mathrm{\exists }L>0$$\exists L>0$，使得在该点的某去心邻域内恒有$|{\displaystyle \frac{X}{Y}}|\le L$$|\dfrac{X}{Y}|\leq L$，则称${\displaystyle \frac{X}{Y}}$$\dfrac{X}{Y}$是局部有界的，记为$X=O(Y)$$X=O(Y)$.

$Z=O(1)$$Z=O(1)$表示$Z$$Z$在该点的去心邻域内有界。

若$X=O(Y)$$X=O(Y)$且$Y=O(X)$$Y=O(X)$，即存在两个正数$K$$K$和$L$$L$，使得该点的某去心邻域内恒有$K\le |{\displaystyle \frac{X}{Y}}|\le L$$K\leq|\dfrac{X}{Y}|\leq L$，则称$X$$X$与$Y$$Y$是同阶无穷小。

当$lim{\displaystyle \frac{X}{Y}}=c\ne 0$$\lim\dfrac{X}{Y}=c\neq0$时，$X$$X$与$Y$$Y$是同阶无穷小。

若$lim{\displaystyle \frac{X}{Y}}=1$$\lim\dfrac{X}{Y}=1$，则称$X$$X$与$Y$$Y$是等价无穷小，记为$X\sim Y$$X\sim Y$.

若$\mathrm{\exists }k>0$$\exists k>0$，使得$lim{\displaystyle \frac{X}{Y^k}}=c\ne 0$$\lim\dfrac{X}{Y^k}=c\neq0$，则称$X$$X$是$Y$$Y$的$k$$k$阶无穷小。

等价无穷小的性质

若$X\sim Y$$X\sim Y$，则$X-Y=o(X)=o(Y)$$X-Y=o(X)=o(Y)$.

若$X\sim \tilde{X},Y\sim \tilde{Y}$$X\sim\tilde X,Y\sim\tilde Y$，且$lim{\displaystyle \frac{\tilde{X}}{\tilde{Y}}}=A$$\lim\dfrac{\tilde{X}}{\tilde{Y}}=A$，则$lim{\displaystyle \frac{X}{Y}}$$\lim\dfrac XY$也存在，且$lim{\displaystyle \frac{X}{Y}}=lim{\displaystyle \frac{\tilde{X}}{\tilde{Y}}}=A$$\lim\dfrac XY=\lim\dfrac{\tilde{X}}{\tilde{Y}}=A$.

等价无穷小替换：用于乘除，不用于加减。

1.4.3 无穷大量

无穷大量的定义

设函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$的某去心邻域$\mathring{N}(x_0)$$\mathring{N}(x_0)$内有定义，若$\mathrm{\forall }G>0$$\forall G>0$，$\mathrm{\exists }\delta >0$$\exists\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$$0<|x-x_0|<\delta$时，恒有$|f(x)|>G$$|f(x)|>G$，则称$f(x)$$f(x)$是$x\to x_0$$x\to x_0$时的无穷大量，记为$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$或$f(x)\to \mathrm{\infty }(x\to x_0)$$f(x)\to\infty(x\to x_0)$.

若将$|f(x)|>G$$|f(x)|>G$改为$f(x)>G$$f(x)>G$、$f(x)<-G$$f(x)<-G$，则称$f(x)$$f(x)$是$x\to x_0$$x\to x_0$时的正无穷大量、负无穷大量。记为$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty$或$f(x)\to +\mathrm{\infty }(x\to x_0)$$f(x)\to+\infty(x\to x_0)$、$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$$\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty$或$f(x)\to -\mathrm{\infty }(x\to x_0)$$f(x)\to-\infty(x\to x_0)$.

无穷大量的性质

有限个无穷大量之积仍然为无穷大量。

无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量。

若$X$$X$为无穷大量，则${\displaystyle \frac{1}{X}}$$\dfrac1X$为无穷小量。若${\displaystyle \frac{1}{X}}$$\dfrac1X$为无穷小量且$X\ne 0$$X\neq0$，则${\displaystyle \frac{1}{X}}$$\dfrac1X$为无穷大量。

有限个无穷大量之和未必是无穷大量。

无穷大量与有界变量的乘积也未必是无穷大量，如当$x\to 0^{+}$$x\to0^+$时，${\displaystyle \frac{1}{x}}\to +\mathrm{\infty }$$\dfrac1x\to+\infty$，$\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$$\sin\dfrac1x$为有界变量，${\displaystyle \frac{1}{x}}\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$$\dfrac1x\sin\dfrac1x$不是无穷大量。

1.4.4 无穷大量的比较

当$x\to x_0$$x\to x_0$时，$u(x)$$u(x)$与$v(x)$$v(x)$都是无穷大量，

若$\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}=\mathrm{\infty }$$\lim_{x\to x_0}\dfrac{u(x)}{v(x)}=\infty$，即$x\to x_0$$x\to x_0$的过程中$u(x)$$u(x)$比$v(x)$$v(x)$发散速度块，则称$u(x)$$u(x)$是$v(x)$$v(x)$的高阶无穷大，$v(x)$$v(x)$是$u(x)$$u(x)$的低阶无穷大。

若$\mathrm{\exists }L,\delta >0$$\exist L,\delta>0$，使得$\mathrm{\forall }x\in \mathring{N}(x_0,\delta )$$\forall x\in\mathring N(x_0,\delta)$有$\left|{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}\right|\le L$$\left|\dfrac{u(x)}{v(x)}\right|\leq L$，则称当$x\to x_0$$x\to x_0$时${\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}$$\dfrac{u(x)}{v(x)}$局部有界，记为$u(x)=O(v(x))(x\to x_0)$$u(x)=O(v(x))\space(x\to x_0)$.

若在$x\to x_0$$x\to x_0$时$u(x)=O(v(x))$$u(x)=O(v(x))$且$v(x)=O(u(x))$$v(x)=O(u(x))$，即$\mathrm{\exists }K,L,\delta >0$$\exists K,L,\delta>0$，使得$\mathrm{\forall }x\in \mathring{N}(x_0,\delta )$$\forall x\in\mathring N(x_0,\delta)$有$K\le \left|{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}\right|\le L$$K\leq\left|\dfrac{u(x)}{v(x)}\right|\leq L$，则称当$x\to x_0$$x\to x_0$时$u(x)$$u(x)$与$v(x)$$v(x)$为同阶无穷大。

若$\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}=c\ne 0$$\lim_{x\to x_0}\dfrac{u(x)}{v(x)}=c\neq0$是，则称当$x\to x_0$$x\to x_0$时$u(x)$$u(x)$与$v(x)$$v(x)$为同阶无穷大。

若$\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}=1$$\lim_{x\to x_0}\dfrac{u(x)}{v(x)}=1$，则称当$x\to x_0$$x\to x_0$时$u(x)$$u(x)$与$v(x)$$v(x)$为等价无穷大，记为$u(x)\sim v(x)(x\to x_0)$$u(x)\sim v(x)\space(x\to x_0)$.

$\mathbf{\S }\mathbf{1.5}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{1.5}}\quad$函数的连续性

1.5.1 函数连续的概念

函数连续的定义

设函数$f(x)$$f(x)$在店$x_0$$x_0$的某邻域内有定义，若当$x\to x_0$$x\to x_0$时函数$f(x)$$f(x)$的极限存在且等于函数值$f(x_0)$$f(x_0)$，即$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处连续，并称点$x_0$$x_0$为函数$f(x)$$f(x)$的连续点。 ​ 用$\epsilon -\delta$$\varepsilon-\delta$语言表述：$\mathrm{\forall }\epsilon >0，\mathrm{\exists }\delta >0，\ni |x-x_0|$$\forall\varepsilon>0，\exists\delta>0，\ni|x-x_0|$，使得$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$.

记$\mathrm{\Delta }x=x-x_0，\mathrm{\Delta }y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$$\Delta x=x-x_0，\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，则$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处连续$\iff \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=0$$\Leftrightarrow \lim_{\Delta x\to0}\Delta y=0$.

称$\mathrm{\Delta }x$$\Delta x$和$\mathrm{\Delta }y$$\Delta y$为增量或该变量。

$f(x)$$f(x)$在$x_0$$x_0$处有极限是其在$x_0$$x_0$处连续的必要条件。

用$C(I)$$C(I)$表示在区间$I$$I$上连续函数的全体。

单侧连续

若$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=f(x_0)$$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$，即$f(x_0-0)=f(x_0)$$f(x_0-0)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处左连续。

若$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=f(x_0)$$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$，即$f(x_0+0)=f(x_0)$$f(x_0+0)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处右连续。

左右连续统称为单侧连续，$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在的充要条件是$f(x_0-0)$$f(x_0-0)$和$f(x_0+0)$$f(x_0+0)$都存在且$f(x_0-0)=f(x_0+0)$$f(x_0-0)=f(x_0+0)$. 这也是函数在点$x_0$$x_0$处连续的充要条件。

区间上连续

$\mathrm{\forall }{x}_0\in (a,b)$$\forall x_0\in(a,b)$，$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处都连续，则称函数$f(x)$$f(x)$在开区间$(a,b)$$(a,b)$内连续。

若$f(x)$$f(x)$在开区间$(a,b)$$(a,b)$内连续且在$x=a$$x=a$处右连续，在$x=b$$x=b$处左连续，则称函数$f(x)$$f(x)$在闭区间$[a,b]$$[a,b]$上连续。

函数$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上连续，也称$f(x)$$f(x)$是区间$I$$I$上的连续函数。

1.5.2 连续函数的性质与初等函数的连续性

连续函数的四则运算法则

$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$都在点$x_0$$x_0$处连续，则$f(x)\pm g(x)，f(x)g(x)，{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}(g(x_0)\ne 0)$$f(x)\pm g(x)，f(x)g(x)，\dfrac{f(x)}{g(x)}(g(x_0)\neq0)$均在$x_0$$x_0$处连续。

复合函数的连续性

$u=g(x)$$u=g(x)$在点$x=x_0$$x=x_0$处连续，$y=f(u)$$y=f(u)$在点$u=u_0=g(x_0)$$u=u_0=g(x_0)$处连续，则$y=f(g(x))$$y=f(g(x))$在点$x=x_0$$x=x_0$处连续。即：