📓 工科数学分析

第二章 一元函数微分学及其应用

$\mathbf{\S }\mathbf{2.1}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{2.1}}\quad$导数

2.1.1 导数的概念、几何意义与应用以及可导与连续的关系

导数的概念

函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$的某邻域$N(x_0)$$N(x_0)$内有定义，自变量从$x_0$$x_0$变为$x_0+\mathrm{\Delta }x$$x_0+\Delta x$时，函数的增量为$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$. 若$x_0+\mathrm{\Delta }x\in N(x_0)$$x_0+\Delta x\in N(x_0)$，且极限

存在，则称函数$f(x_0)$$f(x_0)$在点$x_0$$x_0$处可导，并称此极限值为函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处的导数，记为$f^{\prime }(x_0)$$f'(x_0)$，$y^{\prime }(x_0)$$y'(x_0)$，${{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}|}_{x=x_0}$$\left.\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{x=x_0}$或${{\displaystyle \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}}|}_{x=x_0}$$\left.\dfrac{\mathrm df(x)}{\mathrm dx}\right|_{x=x_0}$.

若该极限不存在，则称函数$f(x_0)$$f(x_0)$在点$x_0$$x_0$处不可导。

函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，因此导数又被称为微商。

左右导数

如果左极限（右极限）

存在，则称此极限为函数$f(x)$$f(x)$在$x_0$$x_0$处的左导数（右导数），并称$f(x)$$f(x)$在$x_0$$x_0$处左可导（右可导），记为$f_{-}^{\prime }(x_0)(f_{+}^{\prime }(x_0))$$f'_-(x_0)\space\left(f'_+(x_0)\right)$.

函数可导

函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处可导的充要条件是$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处既左可导又右可导且$f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$$f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$.

函数$f(x)$$f(x)$在$(a,b)$$(a,b)$内的每一点都可导，称为$f(x)$$f(x)$在$(a,b)$$(a,b)$内可导。

函数$f(x)$$f(x)$在$(a,b)$$(a,b)$内的每一点都可导，在$x=a$$x=a$处右可导，在$x=b$$x=b$处左可导，称为$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可导。

导函数

$f(x)$$f(x)$在定义域$I$$I$上可导，$\mathrm{\forall }x\in I$$\forall x\in I$都对应唯一$f(x)$$f(x)$的导数$f^{\prime }(x)$$f'(x)$. $f^{\prime }(x)$$f'(x)$也是一个关于$x$$x$定义在$I$$I$上的函数，称为函数$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上的导函数，简称为导数，也可记为${\displaystyle \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}}$$\dfrac{\mathrm df(x)}{\mathrm dx}$或${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$.

导数的几何意义

若函数$y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$处可导，则它所对应的平面曲线$y=f(x)$$y=f(x)$在相应的点$P(x_0,f(x_0))$$P(x_0,f(x_0))$处有不垂直于$x$$x$轴的切线，斜率$k$$k$为该点导数$f^{\prime }(x_0)$$f'(x_0)$. 过点$P$$P$的切线方程为$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$.

可导与连续的关系

可导必连续，连续不一定可导。

2.1.2 函数求导的基本法则和基本初等函数的求导公式

函数求导的四则运算法则

$(f(x)\pm g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$

$(cf(x){)}^{\prime }=c{f}^{\prime }(x)$$(cf(x))' = cf'(x)$ 其中$c$$c$是常数。

$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f(x)\cdot g^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)\cdot g(x)$$(f(x) \cdot g(x))' = f(x) \cdot g'(x) + f'(x) \cdot g(x)$

${\left({\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}}$$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$

特别的，有$(cf(x){)}^{\prime }=c{f}^{\prime }(x)(c\in \mathbb{R})$$(cf(x))'=cf'(x)(c\in\R)$或${\left({\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{g^{\prime }(x)}{g^2(x)}}(g(x)\ne 0)$$\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)'=-\dfrac{g'(x)}{g^2(x)}(g(x)\neq0)$.

反函数求导法则

反函数的导数等于直接函数在对应点处导数的倒数。$(f^{-1}{)}^{\prime }(x_0)={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(y_0)}}$$(f^{-1})'(x_0)=\dfrac{1}{f'(y_0)}$，${{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}|}_{x=x_0}={\displaystyle \frac{1}{{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}|}_{y=y_0}}}$$\left.\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{x=x_0}=\dfrac{1}{\left.\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}\right|_{y=y_0}}$.

复合函数求导法则

设函数$u=\phi (x)$$u=\varphi(x)$在点$x$$x$处可导，函数$y=f(u)$$y=f(u)$在点$u=\phi (x)$$u=\varphi(x)$处可导，则复合函数$y=f(\phi (x))$$y=f(\varphi(x))$在点$x$$x$处可导，且${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=f^{\prime }(u){\phi }^{\prime }(x)$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f'(u)\varphi'(x)$.

基本初等函数求导

$\begin{array}{rl}& (C{)}^{\prime }=0\\ & (x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}(\alpha \in \mathbb{R},x>0)\\ & (a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a\\ & (e^x{)}^{\prime }=e^x\\ & ({\log }_{a}x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x\ln a}}\\ & (\ln x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & (\sin x{)}^{\prime }=\cos x& & (\arcsin x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\\ & (\cos x{)}^{\prime }=-\sin x& & (\arccos x{)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\\ & (\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x& & (\arctan x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\\ & (\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x& & (\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\\ & (\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x\\ & (\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x\end{array}$$\begin{align*} &(C)'=0 \\ &(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}(\alpha\in\R,x>0) \\ &(a^x)'=a^x\ln a\\ &(e^x)'=e^x \\ &(\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a}\\ &(\ln x)'=\dfrac{1}{x} \\ &(\sin x)'=\cos x &\space &(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ &(\cos x)'=-\sin x &\space &(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ &(\tan x)'=\sec^2x &\space &(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2} \\ &(\cot x)'=-\csc^2x &\space &(\mathrm{arccot}\space x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}\\ &(\sec x)'=\sec x\tan x\\ &(\csc x)'=-\csc x\cot x \end{align*}$

隐函数求导法则

将$y$$y$看成关于$x$$x$的函数，对等式两边求导可得隐函数的导数。

参数方程求导法则

对于参数方程$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$$\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$确定的$y$$y$与$x$$x$的关系，${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}}$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$.

2.1.3 高阶导数

高阶导数

若$f^{\prime }(x)$$f'(x)$在点$x_0\in I$$x_0\in I$上还可导，则称$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处二阶可导，称$(f^{\prime }(x_0){)}^{\prime }$$(f'(x_0))'$为$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处的二阶导数，记为$f^{″}(x_0)$$f''(x_0)$，${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}}$$\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}$或${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x)}{\mathrm{d}{x}^2}}$$\dfrac{\mathrm d^2f(x)}{\mathrm dx^2}$.

若$f^{\prime }(x)$$f'(x)$在区间$I$$I$上可导，则称$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上二阶可导，称$f^{″}(x)$$f''(x)$为函数$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上的二阶导数。

函数的$n$$n$阶导数记为$f^{(n)}(x)$$f^{(n)}(x)$，${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{x}^n}}$$\dfrac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}$或${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{n}f(x)}{\mathrm{d}{x}^n}}$$\dfrac{\mathrm d^nf(x)}{\mathrm dx^n}$.

若$f^{(n)}(x)$$f^{(n)}(x)$在区间$I$$I$上连续，则称$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上$n$$n$阶连续可导，记为$f(x)\in C^n(I)$$f(x)\in C^n(I)$.

若$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_{+}$$\forall n\in\N_+$，都有$f(x)\in C^n(I)$$f(x)\in C^n(I)$，则称$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上无穷阶连续可导，记为$f(x)\in C^{\mathrm{\infty }}(I)$$f(x)\in C^\infty(I)$.

高阶导数公式

$(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$$(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$

Leibniz公式 $(u\cdot v{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^k$$(u\cdot v)^{(n)}=\sum^n_{k=0}C^k_nu^{(n-k)}v^{k}$

部分函数的$n$$n$阶导数

以下均要求$n\in {\mathbb{N}}_{+}$$n\in\N_+$.

$(\ln (1+x){)}^{(n)}=({\displaystyle \frac{1}{1+x}}{)}^{(n-1)}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}\cdot (n-1)!}{(1+x{)}^n}}$$(\ln(1+x))^{(n)}=(\dfrac{1}{1+x})^{(n-1)}=\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot(n-1)!}{(1+x)^n}$.

$(a^x{)}^{(n)}=a^x{\ln }^{n}a(a>0\wedge a\ne 1)$$(a^x)^{(n)}=a^x\ln^na\space(a>0\and a\neq1)$.

特别的，$(e^x{)}^{(n)}=e^x$$(e^x)^{(n)}=e^x$.

$(x^{\mu }{)}^{(n)}=\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)x^{\mu -n}(\mu >0)$$(x^\mu)^{(n)}=\mu(\mu-1)\cdots(\mu-n+1)x^{\mu-n}\space(\mu>0)$.

特别的，${\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^{(n)}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n}n!}{x^{n+1}}}$$\left(\dfrac1x\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}$，$(x^k{)}^{(k)}=k!$$(x^k)^{(k)}=k!$.

$(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+n\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+n\cdot\dfrac\pi2\right)$.

$(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+n\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+n\cdot\dfrac\pi2\right)$.

$\mathbf{\S }\mathbf{2.2}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{2.2}}\quad$微分

2.2.1 微分的概念

微分的概念

设函数$y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$的某邻域内有定义，若存在一个与$x$$x$无关的常数$A$$A$，使得$f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+o(x-x_0)(x\to x_0)$$f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+o(x-x_0)\space(x\to x_0)$，则称$y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$处可微，称$A(x-x_0)$$A(x-x_0)$为$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处的微分，记为$\mathrm{d}f(x)$$\mathrm df(x)$.

若函数$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上的每一点处都可微，则称$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上可微。

可微的充要条件

设$f(x)$$f(x)$在$N(x_0)$$N(x_0)$有定义，$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处可微的充要条件是$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处可导，且$A=f^{\prime }(x_0)$$A=f'(x_0)$.

微分的几何意义

函数$y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$处的微分值表示当横坐标改变$\mathrm{\Delta }x$$\Delta x$时该点切线的纵坐标的该变量。

2.2.2 微分的运算法则

微分的四则运算法则

$\mathrm{d}(u(x)\pm v(x))=\mathrm{d}u(x)\pm \mathrm{d}v(x)$$\mathrm d(u(x)\pm v(x))=\mathrm du(x)\pm\mathrm dv(x)$

$\mathrm{d}(u(x)v(x))=v(x)\mathrm{d}u(x)+u(x)\mathrm{d}v(x)$$\mathrm d(u(x)v(x))=v(x)\mathrm du(x)+u(x)\mathrm dv(x)$

$\mathrm{d}\left({\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}\right)={\displaystyle \frac{v(x)\mathrm{d}u(x)-u(x)\mathrm{d}v(x)}{v^2(x)}}(v(x)\ne 0)$$\mathrm d\left(\dfrac{u(x)}{v(x)}\right)=\dfrac{v(x)\mathrm du(x)-u(x)\mathrm dv(x)}{v^2(x)}\space(v(x)\neq0)$

复合函数微分法则

若$u$$u$是自变量，$\mathrm{d}f(u)=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$$\mathrm df(u)=f'(u)\mathrm du$.

若$u=g(x)$$u=g(x)$且该函数可导，$\mathrm{d}f(g(x))=(f(g(x)){)}^{\prime }\mathrm{d}x=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$$\mathrm df(g(x))=(f(g(x)))'\mathrm dx=f'(u)g'(x)\mathrm dx=f'(u)\mathrm du$.

——一阶微分的形式不变形

2.2.3 微分在近似计算中的应用

思想：局部线性化。

当$|x|$$|x|$充分小时，有：

$\sin x\approx x$$\sin x\approx x$

$\tan x\approx x$$\tan x\approx x$

$e^x\approx 1+x$$e^x\approx1+x$

$(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$$(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x$

$\ln (1+x)\approx x$$\ln(1+x)\approx x$

2.2.4 高阶微分

$n\in {\mathbb{N}}_{+}$$n\in\N_+$，函数$y=f(x)$$y=f(x)$在$I$$I$上$n$$n$阶可导，则$y=f(x)$$y=f(x)$对$x$$x$的$n$$n$阶微分为${\mathrm{d}}^{n}y=f^{(n)}(x)\mathrm{d}{x}^n$$\mathrm d^ny=f^{(n)}(x)\mathrm dx^n$，称$y=f(x)$$y=f(x)$在区间$I$$I$上$n$$n$阶可微。

其中$\mathrm{d}{x}^n=(\mathrm{d}x{)}^n$$\mathrm dx^n=(\mathrm dx)^n$。

二阶及以上的高阶微分没有形式不变形。

$\mathbf{\S }\mathbf{2.3}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{2.3}}\quad$微分学基本定理及其应用

2.3.1 微分中值定理

Fermat引理

设函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处可导，且存在点$x_0$$x_0$的某邻域$N(x_0)$$N(x_0)$，使得在该邻域内恒有$f(x)\le f(x_0)$$f(x)\leq f(x_0)$或$f(x)\ge f(x_0)$$f(x)\geq f(x_0)$，则必有$f^{\prime }(x_0)=0$$f'(x_0)=0$.

驻点

使得$f^{\prime }(x_0)=0$$f'(x_0)=0$的点$x_0$$x_0$通常称为函数$f(x)$$f(x)$的驻点或稳定点或临界点。

零点定理

设函数$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上可导。若存在两点$a,b\in I$$a,b\in I$，使得$a<b$$a<b$且$f_{+}^{\prime }(a)f_{-}^{\prime }(b)<0$$f'_+(a)f'_-(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)$$\xi\in(a,b)$，使得$f^{\prime }(\xi )=0$$f'(\xi)=0$.

Rolle定理

设函数$f(x)$$f(x)$同时满足以下三个条件：

$f(x)$$f(x)$在闭区间$[a,b]$$[a,b]$上连续，即$f(x)\in C([a,b])$$f(x)\in C\left([a,b]\right)$

$f(x)$$f(x)$在开区间$(a,b)$$(a,b)$内可导，即$f(x)\in D((a,b))$$f(x)\in D\left((a,b)\right)$

$f(a)=f(b)$$f(a)=f(b)$

则至少存在一点$\xi \in (a,b)$$\xi\in(a,b)$使得$f^{\prime }(\xi )=0$$f'(\xi)=0$.

Lagrange中值定理

设函数$f(x)$$f(x)$同时满足以下两个条件：

$f(x)$$f(x)$在闭区间$[a,b]$$[a,b]$上连续，即$f(x)\in C([a,b])$$f(x)\in C([a,b])$

$f(x)$$f(x)$在开区间$(a,b)$$(a,b)$内可导，即$f(x)\in D((a,b))$$f(x)\in D((a,b))$

则至少存在一点$\xi \in (a,b)$$\xi\in(a,b)$使得$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

推论 设函数$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上可导，则在$I$$I$上$f^{\prime }(x)\equiv 0$$f'(x)\equiv0$的充要条件为在$I$$I$上$f(x)$$f(x)$恒为常数。

Cauchy中值定理

设函数$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$同时满足下述三个条件：

$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$都在闭区间$[a,b]$$[a,b]$上连续，即$f(x),g(x)\in C([a,b])$$f(x),g(x)\in C([a,b])$

$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$都在开区间$(a,b)$$(a,b)$内可导，即$f(x),g(x)\in D((a,b))$$f(x),g(x)\in D((a,b))$

在开区间$(a,b)$$(a,b)$内恒有$g^{\prime }(x)\ne 0$$g'(x)\neq0$

则至少存在一点$\xi \in (a,b)$$\xi\in(a,b)$，使得${\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\displaystyle \frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}}$$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$.

Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广。

2.3.2 L'Hospital法则

未定式

用$0$$0$、$1$$1$代表分别以$0$$0$、$1$$1$为极限值的变量，${\displaystyle \frac{0}{0}}$$\dfrac00$、${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$$\dfrac\infty\infty$、$0\cdot \mathrm{\infty }$$0\cdot\infty$、$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$$\infty-\infty$、$0^0$$0^0$、${\mathrm{\infty }}^0$$\infty^0$、$1^{\mathrm{\infty }}$$1^\infty$等形式的极限可能存在也可能不存在，称为未定式。

${\displaystyle \frac{0}{0}}$$\dfrac00$型L'Hospital法则

设函数$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$同时满足下述三个条件：

存在常数$\delta >0$$\delta>0$，使得$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$都在开区间$(x_0,x_0+\delta )$$(x_0,x_0+\delta)$内有定义，且$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=0$$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=0$，$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}g(x)=0$$\lim_{x\to x_0^+}g(x)=0$

开区间$(x_0,x_0+\delta )$$(x_0,x_0+\delta)$内$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$均可导，且恒有$g^{\prime }(x)\ne 0$$g'(x)\neq0$

$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=A$$\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A$，其中$A$$A$为有限数或无穷大

有$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=A$$\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A$.

${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$$\dfrac\infty\infty$型L'Hospital法则

设函数$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$同时满足下述三个条件：

存在常数$\delta >0$$\delta>0$，使得$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$都在开区间$(x_0,x_0+\delta )$$(x_0,x_0+\delta)$内有定义，且$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\infty$，$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$$\lim_{x\to x_0^+}g(x)=\infty$

开区间$(x_0,x_0+\delta )$$(x_0,x_0+\delta)$内$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$均可导，且恒有$g^{\prime }(x)\ne 0$$g'(x)\neq0$

$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=A$$\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A$，其中$A$$A$为有限数或无穷大

有$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=A$$\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A$.

${\displaystyle \frac{\ast }{\mathrm{\infty }}}$$\dfrac*\infty$型L'Hospital法则

设函数$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$同时满足下述三个条件：

存在常数$\delta >0$$\delta>0$，使得$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$都在开区间$(x_0,x_0+\delta )$$(x_0,x_0+\delta)$内有定义，且$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$$\lim_{x\to x_0^+}g(x)=\infty$

开区间$(x_0,x_0+\delta )$$(x_0,x_0+\delta)$内$f(x)$$f(x)$与$g(x)$$g(x)$均可导，且恒有$g^{\prime }(x)\ne 0$$g'(x)\neq0$

$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=A$$\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A$，其中$A$$A$为有限数或无穷大

有$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=A$$\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0^+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A$.

L'Hospital法则注意事项

1. $0\cdot \mathrm{\infty }$$0\cdot\infty$、$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$$\infty-\infty$、$0^0$$0^0$、${\mathrm{\infty }}^0$$\infty^0$、$1^{\mathrm{\infty }}$$1^\infty$等形式需要转化成${\displaystyle \frac{0}{0}}$$\dfrac00$型和${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$$\dfrac\infty\infty$型。

$0\cdot \mathrm{\infty }$$0\cdot\infty$转换为${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{{\displaystyle \frac{1}{0}}}}$$\dfrac{\infty}{\dfrac10}$或${\displaystyle \frac{0}{{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\infty }}}}}$$\dfrac{0}{\dfrac1\infty}$

$0^0$$0^0$、${\mathrm{\infty }}^0$$\infty^0$、$1^{\mathrm{\infty }}$$1^\infty$使用$e^{\ln }$$e^{\ln}$的方法处理，$\underset{x\to x_0}{lim}f(x{)}^{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}{e}^{g(x)\ln f(x)}$$\lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}$，其中$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)\ln f(x)$$\lim_{x\to x_0}g(x)\ln f(x)$为$0\cdot \mathrm{\infty }$$0\cdot\infty$未定型

$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$$\infty-\infty$可进行通分

2. L'Hospital法则对$x\to x_0$$x\to x_0$，$x\to x_0^{-}$$x\to x_0^-$，$x\to \mathrm{\infty }$$x\to\infty$，$x\to +\mathrm{\infty }$$x\to+\infty$，$x\to -\mathrm{\infty }$$x\to-\infty$等极限过程均成立。

3. $lim{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$$\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$不存在不能说明原函数极限不存在，只能说明原函数求极限不能使用L'Hospital法则。

4. $lim{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$$\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$仍为未定式的可继续使用L'Hospital法则，但每次使用前都需要检查是否符合条件。

5. 极限存在的因式及时提取。

6. 过程中可使用等价无穷小替换、重要极限。

2.3.3 Taylor定理

$n$$n$阶Taylor公式

带Peano型余项的$n$$n$阶Taylor公式

设函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处有$n$$n$阶导数，则有

其中$P_n(x-x_0)$$P_n(x-x_0)$由$n$$n$阶Taylor公式定义，$R_n=o((x-x_0{)}^n)$$R_n=o((x-x_0)^n)$为函数$f(x)$$f(x)$在$x_0$$x_0$处的$n$$n$阶Peano型余项。

若有一个$(x-x_0)$$(x-x_0)$的$n$$n$次多项式$Q_n(x-x_0)$$Q_n(x-x_0)$，使得$f(x)=Q_n(x-x_0)+o((x-x_0{)}^n)$$f(x)=Q_n(x-x_0)+o((x-x_0)^n)$，则有$Q_n(x-x_0)=P_n(x-x_0)$$Q_n(x-x_0)=P_n(x-x_0)$.

带Peano型余项的$n$$n$阶Maclaurin公式

称函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0=0$$x_0=0$处带Peano型余项的$n$$n$阶Taylor公式为带Peano型余项的$n$$n$阶Maclaurin公式。

带Lagrange型余项的$n$$n$阶Taylor公式

存在常数$\delta >0$$\delta>0$，使得函数$f(x)$$f(x)$在闭区间$[x_0,x_0+\delta ]$$[x_0,x_0+\delta]$上$n$$n$阶连续可导，且在开区间$(x_0,x_0+\delta )$$(x_0,x_0+\delta)$内$n+1$$n+1$阶可导。则$\mathrm{\forall }x\in (x_0,x_0+\delta ]$$\forall x\in(x_0,x_0+\delta]$，均$\mathrm{\exists }\xi \in (x_0,x)$$\exists\xi\in(x_0,x)$，使得

其中$P_n(x-x_0)$$P_n(x-x_0)$由$n$$n$阶Taylor公式定义，${\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_0{)}^{n+1}$$\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$称为函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处的$n$$n$阶Lagrange型余项。该式称为带Lagrange型余项的$n$$n$阶Taylor公式。使得该式成立的$n$$n$阶多项式是唯一的。

几个常用基本初等函数的$n$$n$阶Maclaurin公式

带Peano型余项： ​ $\begin{array}{rl}(1)& e^x=1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}+o(x^n)\\ (2)& \sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}}{x}^{2n+1}+o(x^{2n+1})\\ (3)& \cos x=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^4}{4!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{(2n)!}}{x}^{2n}+o(x^{2n})\\ (4)& \ln (1+x)=x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}}{x}^n+o(x^n)\\ (5)& (1+x{)}^{\alpha }=1+C_{\alpha }^{1}x+C_{\alpha }^2{x}^2+\cdots +C_{\alpha }^n{x}^n+o(x^n)\end{array}$$\begin{align*} (1)\space&e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ (2)\space&\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots+\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})\\ (3)\space&\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots+\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+o(x^{2n})\\ (4)\space&\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+o(x^n)\\ (5)\space&(1+x)^\alpha=1+C_\alpha^1x+C_\alpha^2x^2+\cdots+C_\alpha^n x^n+o(x^n) \end{align*}$

特别的，当(5)式$\alpha =-1$$\alpha=-1$时，

带Lagrange型余项：令$\xi =\theta x$$\xi=\theta x$，$\theta \in (0,1)$$\theta\in(0,1)$.

$\begin{array}{rl}(1)& e^x=1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}+{\displaystyle \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}}{x}^{n+1}\\ & x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ (2)& \sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}-\cdots +{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}}{(2n-1)!}}{x}^{2n-1}+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n\cos \theta x}{(2n+1)!}}{x}^{2n+1}\\ & x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ (3)& \cos x=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^4}{4!}}-\cdots +{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{(2n)!}}{x}^{2n}+{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n+1}\cos \theta x}{(2n+2)!}}{x}^{2n+2}\\ & x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\\ (4)& \ln (1+x)=x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-\cdots +{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}}{x}^n+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{(n+1)(1+\theta x{)}^{n+1}}}{x}^{n+1}\\ & x\in (-1,+\mathrm{\infty })\\ (5)& (1+x{)}^{\alpha }=1+C_{\alpha }^{1}x+C_{\alpha }^2{x}^2+\cdots +C_{\alpha }^n{x}^n+C_{\alpha }^{n+1}(1+\theta x{)}^{\alpha -n-1}{x}^{n-1}\\ & x\in (-1,+\mathrm{\infty })\end{array}$$\begin{align*} (1)\space&e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\dfrac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}\\&x\in(-\infty,+\infty)\\ (2)\space&\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\dfrac{(-1)^n\cos\theta x}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\&x\in(-\infty,+\infty)\\ (3)\space&\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+\dfrac{(-1)^{n+1}\cos\theta x}{(2n+2)!}x^{2n+2}\\&x\in(-\infty,+\infty)\\ (4)\space&\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+\dfrac{(-1)^n}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}x^{n+1}\\&x\in(-1,+\infty)\\ (5)\space&(1+x)^\alpha=1+C_\alpha^1x+C_\alpha^2x^2+\cdots+C_\alpha^n x^n+C_\alpha^{n+1}(1+\theta x)^{\alpha-n-1}x^{n-1}\\&x\in(-1,+\infty) \end{align*}$

特别的，当(5)式$\alpha =-1$$\alpha=-1$时，