📓 工科数学分析

第三章 一元函数积分学及其应用

$\mathbf{\S }\mathbf{3.1}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{3.1}}\quad$定积分的概念与性质

3.1.1 与定积分相关的实际问题举例

3.1.2 定积分的概念

函数$f(x)$$f(x)$在闭区间$[a,b]$$[a,b]$上有定义，任取一组分点：$a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$，它们将$[a,b]$$[a,b]$分成了$n$$n$个小区间$[x_{i-1},x_i](i=1,2,\cdots ,n)$$[x_{i-1},x_i](i=1,2,\cdots,n)$. 记第$i$$i$个小区间$[x_{i-1},x_i]$$[x_{i-1},x_i]$的长度为$\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$. 任取${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i](i=1,2,\cdots ,n)$$\xi_i\in[x_{i-1},x_i](i=1,2,\cdots,n)$，取和式

称为$f(x)$$f(x)$在闭区间$[a,b]$$[a,b]$上的Riemann和或积分和。

令$d=\underset{1\le i\le n}{max}\mathrm{\Delta }{x}_i$$d=\max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i$，若存在常数$I$$I$，使得$\mathrm{\forall }\epsilon >0$$\forall\varepsilon>0$，总$\mathrm{\exists }\delta >0$$\exist\delta>0$，使得只要$d<\delta$$d<\delta$就有

即

则称$I$$I$为$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上的定积分，记为${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$\int_a^bf(x)\mathrm dx$，即：

称$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上Riemann可积，简称可积，记为$f(x)\in R([a,b])$$f(x)\in R([a,b])$.

3.1.3 函数可积的条件与可积函数类

可积的必要条件

若函数在$[a,b]$$[a,b]$上可积，则$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上有界。

可积的充要条件

在给定的分割$T$$T$下，记$f(x)$$f(x)$在小区间$[x_{i-1},x_i]$$[x_{i-1},x_i]$上的上下确界分别为$M_i$$M_i$和$m_i$$m_i$，定义

分别称为$f(x)$$f(x)$关于该分割$T$$T$的Darboux大和和Darboux小和，统称Darboux和。易知Riemann和在二者之间，$\underset{―}{S}(T)\le S_n\le \bar{S}(T)$$\underline{S}(T)\leq S_n\leq\overline{S}(T)$. 记${\omega }_i=M_i-m_i$$\omega_i=M_i-m_i$，称为$f(x)$$f(x)$在$[x_{i-1},x_i]$$[x_{i-1},x_i]$上的振幅。称

为$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上关于分割$T$$T$的振幅和。

令$d=\underset{1\le i\le n}{max}\mathrm{\Delta }{x}_i$$d=\max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i$，$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上有界，$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积的充要条件是对任意分割$T$$T$，都有

可积的充分条件

若函数$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上连续，则$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积。

若函数$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上有界，则$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积。

若函数$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上单调，则$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积。

3.1.4 定积分的性质

定积分的线性性质

设函数$f(x)$$f(x)$、$g(x)$$g(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积，常数$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$$\alpha,\beta\in\R$，则函数$\alpha f(x)+\beta g(x)$$\alpha f(x)+\beta g(x)$可积，且

对区间可加性

设函数$f(x)$$f(x)$在$I$$I$上可积，$a,b,c$$a,b,c$为$I$$I$上三点，则$f(x)$$f(x)$在这三个点两两组成的闭区间上都可积，且

对被积函数的单调性

设函数$f(x)$$f(x)$、$g(x)$$g(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积，若$[a,b]$$[a,b]$上都有$f(x)\le g(x)$$f(x)\leq g(x)$，则

定积分估值定理

设函数$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积。若存在常数$m,M$$m,M$使得在$[a,b]$$[a,b]$上恒有$m\le f(x)\le M$$m\leq f(x)\leq M$，则

定积分绝对值性质

设函数$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积，则$|f(x)|$$|f(x)|$在$[a,b]$$[a,b]$上可积，且

定积分乘积性质

设函数$f(x)$$f(x)$、$g(x)$$g(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积，则$f(x)g(x)$$f(x)g(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积。

积分中值定理

若函数$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上连续，$g(x)$$g(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积且不变号，则至少存在一点$\xi \in [a,b]$$\xi\in[a,b]$，使得

若函数$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上连续，则至少存在一点$\xi \in [a,b]$$\xi\in[a,b]$，使得

$\mathbf{\S }\mathbf{3.2}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{3.2}}\quad$微积分学的基本定理

3.2.1 微积分学的基本定理

函数$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上有定义，若存在$I$$I$上的可微函数$F(x)$$F(x)$，使得$\mathrm{\forall }x\in I$$\forall x\in I$都有$F^{\prime }(x)=f(x)$$F'(x)=f(x)$，或$\mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x$$\mathrm dF(x)=f(x)\mathrm dx$，则称$F(x)$$F(x)$为$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上的原函数。

Newton-Leibniz公式

$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积，$F(x)$$F(x)$是$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上的一个原函数，则有

该式也被称为微积分基本公式、微积分基本定理。

3.2.2 变限定积分和原函数存在定理

变上限定积分

函数$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积，$\mathrm{\forall }x\in [a,b]$$\forall x\in[a,b]$，$f(t)$$f(t)$在闭区间$[a,x]$$[a,x]$上也可积。故对任意取定的$x\in [a,b]$$x\in[a,b]$，有唯一确定值${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$\int_a^xf(t)\mathrm dt$与之对应，从而确定了闭区间$[a,b]$$[a,b]$上的一个函数

该函数$\Phi (x)$$\varPhi(x)$称为$f(x)$$f(x)$的变上限定积分。

变上限定积分的性质

设函数$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可积，则$\Phi (x)$$\varPhi(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上连续。

设函数$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上连续，则$\Phi (x)$$\varPhi(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可导，

原函数存在定理

设函数$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上连续，则$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上一定存在原函数，$\Phi (x)$$\varPhi(x)$就是$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上的一个原函数，且$\Phi (a)=0$$\varPhi(a)=0$.

设函数$f(x)$$f(x)$在$I$$I$上连续，$\phi (x),\psi (x)$$\varphi(x),\psi(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上可导，若$\phi ([a,b]),\psi ([a,b])\subset I$$\varphi([a,b]),\psi([a,b])\sub I$，则

3.2.3 不定积分的概念与基本积分公式

不定积分

函数$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上的全体原函数称为$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上的不定积分，记为$\begin{array}{r}\int f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$\begin{align*}\int f(x)\mathrm dx\end{align*}$，称符号$\begin{array}{r}\int \end{array}$$\begin{align*}\int\end{align*}$为积分号，$f(x)$$f(x)$为被积函数，$f(x)\mathrm{d}x$$f(x)\mathrm dx$为被积表达式，$x$$x$为积分变量。

若函数$F(x)$$F(x)$是$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上的一个原函数，则

$C$$C$为任意常数。

微分与不定积分互逆性

基本积分公式表

非三角类： ​ $\begin{array}{rl}(1)& \int k\mathrm{d}x=kx+C\\ (2)& \int x^{\alpha }\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{1}{1+\alpha }}{x}^{1+\alpha }+C(\alpha \ne -1)\\ (3)& \int {\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{d}x=\ln |x|+C\\ (4)& \int a^x\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{a^x}{\ln a}}+C(a>0,a\ne 1)\\ (5)& \int e^x\mathrm{d}x=e^x+C\end{array}$$\begin{align*} (1)\space& \int k\mathrm dx=kx+C\\ (2)\space& \int x^\alpha\mathrm dx=\dfrac1{1+\alpha}x^{1+\alpha}+C\quad(\alpha\neq-1)\\ (3)\space& \int \dfrac1x\mathrm dx=\ln|x|+C\\ (4)\space& \int a^x\mathrm dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\quad(a>0,\space a\neq1)\\ (5)\space& \int e^x\mathrm dx=e^x+C\\ \end{align*}$

三角函数类： ​ $\begin{array}{rl}(1)& \int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\\ (2)& \int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C\\ (3)& \int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C\\ (4)& \int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C\\ (5)& \int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C\\ (6)& \int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C\\ (7)& \int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C\\ (8)& \int \csc x\mathrm{d}x=\ln |\csc x-\cot x|+C\\ (9)& \int \tan x\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C\\ (10)& \int \cot x\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C\end{array}$$\begin{align*} (1)\space& \int \sin x\mathrm dx=-\cos x+C\\ (2)\space& \int \cos x\mathrm dx=\sin x+C\\ (3)\space& \int \sec^2x\mathrm dx=\tan x+C\\ (4)\space& \int \csc^2x\mathrm dx=-\cot x+C\\ (5)\space& \int \sec x\tan x\mathrm dx=\sec x+C\\ (6)\space& \int \csc x\cot x\mathrm dx=-\csc x+C\\ (7)\space& \int \sec x\mathrm dx=\ln|\sec x+\tan x|+C\\ (8)\space& \int \csc x\mathrm dx=\ln|\csc x-\cot x|+C\\ (9)\space& \int \tan x\mathrm dx=-\ln|\cos x|+C\\ (10)\space&\int \cot x\mathrm dx=\ln|\sin x|+C \end{align*}$

反三角函数、双曲函数类： ​ $\begin{array}{rl}(1)& \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2\\ (2)& \int {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathrm{d}x=\arctan x+C_1=-\mathrm{arccot}x+C_2\\ (3)& \int \sinh x\mathrm{d}x=\cosh x+C\\ (4)& \int \cosh x\mathrm{d}x=\sinh x+C\end{array}$$\begin{align*} (1)\space& \int \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2\\ (2)\space& \int \dfrac1{1+x^2}\mathrm dx=\arctan x+C_1=-\mathrm{arccot}\, x+C_2\\ (3)\space& \int \sinh x\mathrm dx=\cosh x+C\\ (4)\space& \int \cosh x\mathrm dx=\sinh x+C \end{align*}$ ​ (1)、(2)中，两个原函数除去常数部分均相差${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$\dfrac\pi2$.

含参数类：

$\begin{array}{rl}(1)& \int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}}={\displaystyle \frac{1}{a}}\arctan {\displaystyle \frac{x}{a}}+C(a>0)\\ (2)& \int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C(a>0)\\ (3)& \int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\arcsin {\displaystyle \frac{x}{a}}+C(a>0)\\ (4)& \int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{a^2-x^2}}={\displaystyle \frac{1}{2a}}\ln \left|{\displaystyle \frac{a+x}{a-x}}\right|+C(a>0)\end{array}$$\begin{align*} (1)\space& \int \dfrac{\mathrm dx}{x^2+a^2}=\dfrac1a\arctan\dfrac xa+C\quad(a>0)\\ (2)\space& \int \dfrac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C\quad(a>0)\\ (3)\space& \int \dfrac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\dfrac xa+C\quad(a>0)\\ (4)\space& \int \dfrac{\mathrm dx}{a^2-x^2}=\dfrac1{2a}\ln\left|\dfrac{a+x}{a-x}\right|+C\quad(a>0) \end{align*}$

不定积分的线性性质

设$f(x)$$f(x)$和$g(x)$$g(x)$在区间$I$$I$上存在原函数，$\alpha$$\alpha$与$\beta$$\beta$为任意常数，则$\alpha f(x)+\beta g(x)$$\alpha f(x)+\beta g(x)$在$I$$I$上也存在原函数，且

$\mathbf{\S }\mathbf{3.3}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{3.3}}\quad$不定积分的换元积分法和分部积分法

3.3.1 不定积分的换元积分法

不定积分的第一类换元法

不定积分的第一类换元法是复合函数求导的逆过程。

设函数$F(u)$$F(u)$是$f(u)$$f(u)$在区间$I$$I$上的原函数，中间变量$u=\phi (x)$$u=\varphi(x)$，$\phi (x)$$\varphi(x)$的值域$R(\phi )\subseteq I$$R(\varphi)\subseteq I$，且$\phi (x)$$\varphi(x)$可微，考虑复合函数求导公式

由不定积分的定义有

该过程称为第一类换元法，又称凑微分法。这个方法的重点在于将被积函数$g(x)$$g(x)$拆成两个因子的乘积，其中的一个因子与$\mathrm{d}x$$\mathrm dx$相乘凑成某个函数$\phi (x)$$\varphi(x)$的微分，另一个因子是关于$\phi (x)$$\varphi(x)$的函数$f(\phi (x))$$f(\varphi(x))$.

不定积分的第二类换元法

不定积分的第二类换元法需要构造代换变量使得式子更容易积出。

若$\begin{array}{r}\int f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$\begin{align*}\int f(x)\mathrm dx\end{align*}$难以求出，我们可以尝试引入变量代换$x=\phi (t)$$x=\varphi(t)$，其中$\phi (t)$$\varphi(t)$可导且有反函数，${\phi }^{\prime }(x)\ne 0$$\varphi'(x)\ne0$. 若$f(\phi (t))$$f(\varphi(t))$有意义，且$f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)$$f(\varphi(t))\varphi'(t)$的原函数为$F(t)$$F(t)$，则有

3.3.2 不定积分的分部积分法

不定积分的分部积分法是函数乘积的求导法则的逆过程。

有函数乘积的微分公式

移项并对两边求不定积分，得到不定积分的分部积分公式

分部积分公式也常简写为$\begin{array}{r}\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u\end{array}$$\begin{align*}\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du\end{align*}$.

使用分部积分法的关键是正确选择$u$$u$和$\mathrm{d}v$$\mathrm dv$，使得$v$$v$易于求出且$\begin{array}{r}\int v\mathrm{d}u\end{array}$$\begin{align*}\int v\mathrm du\end{align*}$比$\begin{array}{r}\int u\mathrm{d}v\end{array}$$\begin{align*}\int u\mathrm dv\end{align*}$更易积分。

3.3.3 有理函数的不定积分

理论上所有有理函数的不定积分都可积出。

3.3.4 一些可以化为有理函数的不定积分举例

三角函数有理式的不定积分

由$\sin x$$\sin x$和$\cos x$$\cos x$及常数经过有限次四则运算得到的函数称为三角函数有理式，记为$R(\sin x,\cos x)$$R(\sin x,\,\cos x)$.

令$t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$$t=\tan\dfrac x2$，即$x=2\arctan t$$x=2\arctan t$，此时$\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{2}{1+t^2}}\mathrm{d}t$$\mathrm dx=\dfrac{2}{1+t^2}\mathrm dt$，可得

于是

由于该式为有理式，故可积出。$t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$$t=\tan\dfrac x2$称为万能代换或者半角代换。

某些无理函数的不定积分

设$R(u,v)$$R(u,v)$是关于$u,v$$u,v$的有理函数，对于不定积分$\begin{array}{r}\int R(x,\sqrt[n]{ax+b})\mathrm{d}x(a\ne 0,n\in {\mathbb{N}}_{+})\end{array}$$\begin{align*}\int R(x,\sqrt[n]{ax+b})\mathrm dx\;(a\neq0,\, n\in\N_+)\end{align*}$，令$t=\sqrt[n]{ax+b}$$t=\sqrt[n]{ax+b}$，可得

$\mathbf{\S }\mathbf{3.4}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{3.4}}\quad$定积分的换元积分法与分部积分法

设$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,b]$上连续，函数$x=\phi (t)$$x=\varphi(t)$满足$\phi (\alpha )=a$$\varphi(\alpha)=a$，$\phi (\beta )=b$$\varphi(\beta)=b$，${\phi }^{\prime }(t)$$\varphi'(t)$在$[\alpha ,\beta ]$$[\alpha,\beta]$或$[\beta ,\alpha ]$$[\beta,\alpha]$上连续，且$x=\phi (t)$$x=\varphi(t)$的值域$R_{\phi }\subset [a,b]$$R_\varphi\sub[a,b]$，则有

$\mathbf{\S }\mathbf{3.5}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{3.5}}\quad$定积分的应用

3.5.1 微元法

$\mathbf{\S }\mathbf{3.6}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{3.6}}\quad$反常积分

3.6.1 反常积分的概念

无穷限积分

设函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,+\mathrm{\infty })$$[a,+\infty)$上有定义，$\mathrm{\forall }b>a$$\forall b>a$，$f(x)$$f(x)$都在闭区间$[a,b]$$[a,b]$上Riemann可积，则称极限$\begin{array}{r}\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$\begin{align*}\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)\mathrm dx\end{align*}$为函数$f(x)$$f(x)$在无穷区间$[a,+\mathrm{\infty })$$[a,+\infty)$上的反常积分，记为$\begin{array}{r}{\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$\begin{align*}\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\end{align*}$.

若$\begin{array}{r}\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$\begin{align*}\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)\mathrm dx\end{align*}$存在，则称无穷限积分$\begin{array}{r}{\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$\begin{align*}\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\end{align*}$收敛，否则称之为发散。

同理，定义另外两种无穷限积分：

上述三种形式的反常积分统称为无穷区间上的反常积分，也称无穷限积分。无穷限积分的收敛与发散成为反常积分的敛散性。

设$f(x)$$f(x)$在任何一个有限闭区间$[a,b]$$[a,b]$上可积，$F(x)$$F(x)$为$f(x)$$f(x)$的一个原函数，可以将$\begin{array}{r}{\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)|}_a^b\end{array}$$\begin{align*}\left.\lim_{b\to+\infty}F(x)\right|_a^b\end{align*}$记为${F(x)|}_a^{+\mathrm{\infty }}$$\left.F(x)\right|_a^{+\infty}$，将$\begin{array}{r}{\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{lim}F(x)|}_a^b\end{array}$$\begin{align*}\left.\lim_{a\to-\infty}F(x)\right|_a^b\end{align*}$记为${F(x)|}_{-\mathrm{\infty }}^b$$\left.F(x)\right|^b_{-\infty}$.

$p-$$p-$积分

无穷限积分$\begin{array}{r}{\int }_a^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^p}}\mathrm{d}x\end{array}$$\begin{align*}\int_a^{+\infty}\dfrac1{x^p}\mathrm dx\end{align*}$，当$p\le 1$$p\le1$时发散，当$p>1$$p>1$时收敛，$\begin{array}{r}{\int }_a^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^p}}\mathrm{d}x\end{array}={\displaystyle \frac{x^{1-p}}{p-1}}$$\begin{align*}\int_a^{+\infty}\dfrac1{x^p}\mathrm dx\end{align*}=\dfrac{x^{1-p}}{p-1}$.

瑕积分

若函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$的任意左邻域或任意右邻域内无界，则称点$x_0$$x_0$为$f(x)$$f(x)$的奇点。

$q-$$q-$积分

$\begin{array}{r}{\int }_a^b{\displaystyle \frac{1}{(x-a{)}^q}}\mathrm{d}x(a\ne b,q\in \mathbb{R})\end{array}$$\begin{align*}\int_a^b\dfrac1{(x-a)^q}\mathrm dx\;(a\ne b,\, q\in\R)\end{align*}$，当$q\ge 1$$q\ge1$时发散，当$q<1$$q<1$时收敛，$\begin{array}{r}{\int }_a^b{\displaystyle \frac{1}{(x-a{)}^q}}\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{(b-a{)}^{1-q}}{1-q}}\end{array}$$\begin{align*}\int_a^b\dfrac1{(x-a)^q}\mathrm dx=\dfrac{(b-a)^{1-q}}{1-q}\end{align*}$.