📓 工科数学分析

第四章 常微分方程（组）及其应用

$\mathbf{\S }\mathbf{4.1}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{4.1}}\quad$几类简单的微分方程

4.1.1 微分方程的基本概念

含有未知函数或未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。未知函数是一元函数的微分的方程称为常微分方程。

微分方程中所含的未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶。

若存在定义在区间$I$$I$上的函数$y=y(x)$$y=y(x)$使得

则称$y=y(x)$$y=y(x)$为常微分方程$F(x,y,y^{\prime },y^{″},\cdots ,y^{(n)})=0$$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0$的解。

4.1.2 可分离变量的一阶微分方程

形如${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=f(x)g(y)$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x)g(y)$的方程称为可分离变量的一阶微分方程。

求解方法：先讨论$g(y_0)=0$$g(y_0)=0$的情况，$y=y_0$$y=y_0$为原方程的一个常数解。然后讨论$g(y)\ne 0$$g(y)\ne0$的情况，将方程写成${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}}=f(x)\mathrm{d}x$$\dfrac{\mathrm dy}{g(y)}=f(x)\mathrm dx$. 此时对左右同时求积分，即有$\begin{array}{r}\int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}}=\int f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$\begin{align*}\int\dfrac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx\end{align*}$. 设$G(y)$$G(y)$与$F(x)$$F(x)$分别为${\displaystyle \frac{1}{g(y)}}$$\dfrac1{g(y)}$与$f(x)$$f(x)$的原函数，则原方程有通解：$G(y)=F(x)+C$$G(y)=F(x)+C$.

4.1.3 一阶线性微分方程

在一阶微分方程中，未知函数及其导数（或微分）的次数都是一次的，称为一阶线性微分方程。其一般形式为

当$Q(x)\equiv 0$$Q(x)\equiv0$时，方程为一阶线性齐次方程组，否则为一阶线性非齐次方程组。

齐次线性微分方程组

对于一阶线性齐次线性方程组${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}+P(x)y=0$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+P(x)y=0$，可转化为${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{y}}=-P(x)\mathrm{d}x$$\dfrac{\mathrm dy}y=-P(x)\mathrm dx$，得到通解$y=C{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$$y=Ce^{-\int P(x)\mathrm dx}$，$C$$C$为任意常数。

证明

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}+P(x)y& =0\\ {\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{y}}& =-P(x)\mathrm{d}x\\ \int {\displaystyle \frac{1}{y}}\mathrm{d}y& =\int -P(x)\mathrm{d}x\\ \ln |y|& =-\int P(x)\mathrm{d}x\\ \ln |y|& =C_0-\int P(x)\mathrm{d}x\\ y& =e^{C_0-\int P(x)\mathrm{d}x}\\ y& =C{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\end{array}$$\begin{align*} \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+P(x)y&=0\\ \dfrac{\mathrm dy}y&=-P(x)\mathrm dx\\ \int\dfrac1y{\mathrm dy}&=\int-P(x)\mathrm dx\\ \ln|y|&=-\int P(x)\mathrm dx\\ \ln|y|&=C_0-\int P(x)\mathrm dx\\ y&=e^{C_0-\int P(x)\mathrm dx}\\ y&=Ce^{-\int P(x)\mathrm dx} \end{align*}$

非齐次线性微分方程组

常数变易法 将对应的线性齐次微分方程通解中的任意常数$C$$C$换成待定的函数$C(x)$$C(x)$，求线性非齐方程通解。

一阶线性非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与它所对应的线性齐次微分方程的通解之和。

通解：$y=e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}(\int e^{\int p(x)\mathrm{d}x}Q(x)\mathrm{d}x)+C{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}$$y=e^{-\int p(x)\mathrm dx}(\int e^{\int p(x)\mathrm dx}Q(x)\mathrm dx)+Ce^{-\int P(x)\mathrm dx}$.

证明

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}+P(x)y& =Q(x)\\ \text{两}\text{侧}\text{乘}v(x):v(x){\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}+v(x)P(x)y& =v(x)Q(x)\\ \text{令}v(x)P(x)y& =y{\displaystyle \frac{\mathrm{d}v(x)}{\mathrm{d}x}}\\ \text{此}\text{时}{\displaystyle \frac{1}{v(x)}}\mathrm{d}v(x)& =P(x)\mathrm{d}x\\ \text{即}v(x)& =e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\\ \text{原}\text{方}\text{程}\text{为}v(x){\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{d}v(x)}{\mathrm{d}x}}y& =v(x)Q(x)\\ \text{即}v(x)y^{\prime }+v^{\prime }(x)y& =v(x)Q(x)\\ \text{即}v(x)y& =\int v(x)Q(x)\mathrm{d}x\\ y& ={\displaystyle \frac{1}{v(x)}}\int v(x)Q(x)\mathrm{d}x\\ \therefore y& =e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}(\int e^{\int p(x)\mathrm{d}x}Q(x)\mathrm{d}x)+C{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\end{array}$$\begin{align*} \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+{P(x)y}&=Q(x)\\ 两侧乘v(x):\; v(x)\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+v(x)P(x)y&=v(x)Q(x)\\ 令v(x)P(x)y&=y\dfrac{\mathrm dv(x)}{\mathrm dx}\\ 此时\dfrac1{v(x)}{\mathrm dv(x)}&={P(x)}\mathrm dx\\ 即v(x)&=e^{\int P(x)\mathrm dx}\\ 原方程为v(x)\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+\dfrac{\mathrm dv(x)}{\mathrm dx}y&=v(x)Q(x)\\ 即v(x)y'+v'(x)y&=v(x)Q(x)\\ 即v(x)y&=\int v(x)Q(x)\mathrm dx\\ y&=\dfrac1{v(x)}\int v(x)Q(x)\mathrm dx\\ \therefore\;y&=e^{-\int p(x)\mathrm dx}(\int e^{\int p(x)\mathrm dx}Q(x)\mathrm dx)+Ce^{-\int P(x)\mathrm dx} \end{align*}$

4.1.4 可利用变量代换求解的几类一阶微分方程

若$f(tx,ty)=f(x,y),\mathrm{\forall }t\ne 0$$f(tx,ty)=f(x,y),\quad\forall t\ne0$，则称方程${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=f(x,y)$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y)$称为齐次型一阶微分方程。

令$t={\displaystyle \frac{1}{x}}$$t=\dfrac1x$，得$f(x,y)=f(1,{\displaystyle \frac{y}{x}})$$f(x,y)=f(1,\dfrac yx)$. 故齐次型一阶微分方程的一般形式为${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=\phi ({\displaystyle \frac{y}{x}})$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi(\dfrac yx)$.

4.1.5 可降阶的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$$y^{(n)}=f(x)$型微分方程

这类方程的特点是左端为未知函数$y$$y$的导数，右端仅含$x$$x$. 对方程关于$x$$x$积分$n$$n$此就可以求出通解，求出的通解中通常含有$n$$n$个独立的任意常数。

$y^{″}=f(x,y^{\prime })$$y''=f(x,y')$型微分方程

这类方程不显含未知函数$y$$y$. 令$y^{\prime }=p(x)$$y'=p(x)$，则$y^{″}=p^{\prime }={\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}}$$y''=p'=\dfrac{\mathrm dp}{\mathrm dx}$，原方程化为${\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}}=f(x,p)$$\dfrac{\mathrm dp}{\mathrm dx}=f(x,p)$.

这是一个一阶微分方程，求出其通解后再积分一次就可以得到原方程的通解。

设该一阶微分方程通解为$y^{\prime }=p=\phi (x,C_1)$$y'=p=\varphi(x,C_1)$，则原方程通解为$\begin{array}{r}y=\int \phi (x,C_1)\mathrm{d}x+C_2\end{array}$$\begin{align*}y=\int\varphi(x,C_1)\mathrm dx+C_2\end{align*}$.

$y^{″}=f(y,y^{\prime })$$y''=f(y,y')$型微分方程

这类方程不显含自变量$x$$x$. 令$y$$y$为自变量，$y^{\prime }=z(y)$$y'=z(y)$，由复合函数的求导法则可得$y^{″}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=z{\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}}$$y''=\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy}\cdot\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=z\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy}$，原方程即为$z{\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}}=f(y,z)$$z\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy}=f(y,z)$. 这是一个以$y$$y$为自变量，$z$$z$为未知函数的一阶微分方程，求出通解后进行变量分离可得到通解。

若$z{\displaystyle \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}}=f(y,z)$$z\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dy}=f(y,z)$通解为$y^{\prime }=z=\phi (y,C_1)$$y'=z=\varphi(y,C_1)$，可得原方程通解为$\begin{array}{r}x=\int {\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\phi (y,C_1)}}+C_2\end{array}$$\begin{align*}x=\int\dfrac{\mathrm dy}{\varphi(y,C_1)}+C_2\end{align*}$.

$\mathbf{\S }\mathbf{4.2}$$\boldsymbol{\Large{\sect}\normalsize{4.2}}\quad$高阶线性微分方程

若$n$$n$阶微分方程$F(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n)})=0$$F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$关于未知函数$y$$y$及其各阶导数的幂次都是非负整数，且次数都是一次的，则称为$n$$n$阶线性微分方程。其一般形式为

其中$a_0(x)$$a_0(x)$不恒等于$0$$0$，函数$f(x)$$f(x)$称为方程的自由项。若$f(x)\equiv 0$$f(x)\equiv0$，则原方程为$n$$n$阶线性齐次微分方程，否则为$n$$n$阶线性非齐次微分方程。