📓 线性代数

第一章矩阵

1.1 矩阵的基本概念

1.1.1 矩阵的概念

$m\times n$ $a_{ij}(i=1,2,\cdots,m; j=1,2,\cdots,n)$ $m$ $n$ 列的表：

\begin{matrix} A = {(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})}_{m \times n} \end{matrix}

$(a_{ij})$ $(a_{ij})_{m\times n}$ $\boldsymbol{A}_{m\times n}$ .

$a_{ij}$ $i$ $j$ $a_{ij}$ 的行指标和列指标。

元素都是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

1.1.2 几种特殊矩阵

方阵

$m=n$ 的矩阵为方阵。

方阵从左上到右下为主对角线，从右上到左下为次对角线。非方阵的矩阵没有对角线。

向量

$1$ $n$ $\boldsymbol{A}_{1\times n}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ 可以称为一个行矩阵或行向量。

$m$ $1$ $\boldsymbol{A}_{m\times 1}\begin{pmatrix}1 \\2 \\3\end{pmatrix}$ 可以称为一个列矩阵或列向量。

零矩阵

$\boldsymbol{O}$ .

$\boldsymbol{O}_{1\times 2}\neq\boldsymbol{O}_{2\times 3}$ .

对角、数量、单位矩阵

除主对角线外其它位置元素都为0的矩阵称为对角矩阵：

$\boldsymbol{\varLambda}= \begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & ... & \\ & & & a_{mn} \end{pmatrix} = diag(a_{11},a_{22},...,a_{mn})$

这些位置上的数字都相同，称为数量矩阵：

$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a & & & \\ & a & & \\ & & \ldots & \\ & & & a\end{pmatrix}=diag(a,a,\ldots,a)$

这些位置上的数字都为1，称为单位矩阵：

$\boldsymbol{E}_n=\boldsymbol I_n=\begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & ... & \\ & & & 1 \end{pmatrix}_{n\times n}=diag(1,1,...,1)$ $\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{I}$ .

三角矩阵

若一个方阵的主对角线下（上）面的元素全为零，则此矩阵称为上（下）三角矩阵。

$\pmatrix{1&2&3\\0&4&5\\0&0&6}$ $\pmatrix{1&0&0\\2&3&0\\4&5&6}$

行列阶梯矩阵

$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n}$ 中各非零行的非零首元的列指标随着行指标的增大而严格增大，若有零行零行均在非零行下方，则此矩阵称为行列阶梯矩阵。

$\pmatrix{1&2&0&1\\0&0&3&5\\0&0&0&0}$

行最简形矩阵

若有一个行列阶梯矩阵的每个非零行的非零首元均为1，并且此非零首元所在列的其余元素均为零，则此矩阵称为行最简形矩阵。

$\pmatrix{1&-1&0&1\\0&0&1&3\\0&0&0&0}$

1.2 矩阵的基本运算

1.2.1 矩阵的线性运算

矩阵关系

同型矩阵：两个矩阵的行数和列数都相等。

$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times n}$ $\boldsymbol{B}=(b_{ij})_{m\times n}$ $\boldsymbol{AB}$ 为同型矩阵。

矩阵相等：两个同型矩阵的对应位置的元素均相等。

$a_{ij}=b_{ij}$ $\boldsymbol{AB}$ $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$ .

矩阵加法

类型相的矩阵才能相加，矩阵的相加即对应位置元素相加。

$\boldsymbol A=(a_{ij})_{m\times n}$ $\boldsymbol B=(b_{ij})_{m\times n}$ $\boldsymbol C=\boldsymbol A+\boldsymbol B=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}$ .

$-\boldsymbol A=(-a_{ij})_{m\times n}$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol A+(-\boldsymbol A)=\boldsymbol O$ .

矩阵加法具有交换律、结合律。

$\boldsymbol O$ 后不变。

矩阵数乘

$k$ $k$ 。

$\boldsymbol A=(a_{ij})_{m\times n}$ $k\boldsymbol A=(ka_{ij})_{m\times n}$ .

数乘的性质：

$(k+l)\boldsymbol A=k\boldsymbol A+l\boldsymbol A$

$k(\boldsymbol A+\boldsymbol B)=k\boldsymbol A+k\boldsymbol B$

$k(l\boldsymbol A)=(kl)\boldsymbol A$

$1\boldsymbol A=\boldsymbol A$

1.2.2 矩阵的乘法

矩阵相乘

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{AB}$ 才有意义。

两个矩阵相乘，结果矩阵的行数为左边矩阵的行数、列数为右边矩阵的列数。

$\boldsymbol{A}=(a_{ik})_{m\times s}$ $\boldsymbol{B}=(b_{kj})_{s\times n}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{AB}=(c_{ij})_{m\times n}$ ，其中

c_{i j} = \sum_{k = 1}^{s} a_{i k} b_{k j} .

$\boldsymbol{A}_{m\times s}\boldsymbol{B}_{s\times n}=\boldsymbol{C}_{m\times n}$ ，“中间相等，取两头”。

运算律

结合律 $(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{BC})$ .

分配律 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{AC}$ $(\boldsymbol B+\boldsymbol C)\boldsymbol A=\boldsymbol{BA}+\boldsymbol{CA}$ .

数乘系数位置可变 $k(\boldsymbol{AB})=(k\boldsymbol A)\boldsymbol B=\boldsymbol A(k\boldsymbol B)$ .

没有交换律。

$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O}$ 不能 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ . 两非零矩阵的乘积也可能是零矩阵。

可交换

$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ 可交换。

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$ .

$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{BA}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ . $\because \boldsymbol{AB}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ $\therefore \boldsymbol{AB}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}$ $\therefore(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})=\boldsymbol{E}$ $\therefore\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}=\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}\\$ .

矩阵相乘可交换的情况：

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ 为同阶对角矩阵

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ 中有一个为数量矩阵

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}^*$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

乘特殊矩阵

左乘或右乘零矩阵，结果得零矩阵。

左乘或右乘单位矩阵，结果不变。

乘对角矩阵

左乘对角矩阵，相当于每一行乘以对应元素；右乘对角矩阵，相当于每一列乘以对应元素。

(\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ ⋱ \\ d_{m} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} d_{1} a_{11} & d_{1} a_{12} & \dots & d_{1} a_{1 n} \\ d_{2} a_{21} & d_{2} a_{22} & \dots & d_{2} a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ d_{m} a_{m 1} & d_{m} a_{m 2} & \dots & d_{m} a_{m n} \end{matrix}),

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ ⋱ \\ d_{m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} d_{1} a_{11} & d_{2} a_{12} & \dots & d_{m} a_{1 n} \\ d_{1} a_{21} & d_{2} a_{22} & \dots & d_{m} a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ d_{1} a_{m 1} & d_{2} a_{m 2} & \dots & d_{m} a_{m n} \end{matrix}) .

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{AB}$ 仍为对角矩阵，且有

(\begin{matrix} a_{11} \\ ⋱ \\ a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{11} \\ ⋱ \\ b_{n n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} b_{11} \\ ⋱ \\ a_{n n} b_{n n} \end{matrix}) .

矩阵的方幂

$k\ge2$ $\boldsymbol{A}^k=\underbrace{\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}\cdot\ldots\cdot\boldsymbol{A}}_{k个}$ $\boldsymbol{A}$ $k$ $\boldsymbol{A}$ 为方阵。

$\boldsymbol{A}^0=\boldsymbol{E}$ .

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}$ 类型相同的方阵。

$\boldsymbol{A}^k\cdot\boldsymbol{A}^l=\boldsymbol{A}^{k+l}$

$(\boldsymbol{A}^k)^l=\boldsymbol{A}^{kl}$ .

$(\boldsymbol{AB})^k$ $\boldsymbol{A}^k\boldsymbol{B}^k$ 未必相等。原因：无交换律。

矩阵多项式

$f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\ldots+a_1x+a_0$ $x$ $m$ $a_m\neq0$ ）。

$f(\boldsymbol{A})=a_m\boldsymbol{A}^m+a_{m-1}\boldsymbol{A}^{m-1}+\ldots+a_0\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$ $m$ $a_m\neq0$ ）。

$\boldsymbol A^k$ $\boldsymbol A^l$ $\boldsymbol A^k$ $\boldsymbol E$ $\varphi(\boldsymbol A)f(\boldsymbol A)=f(\boldsymbol A)\varphi(\boldsymbol A)$ .

$\boldsymbol{B}=f(\boldsymbol{A})$ $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$ .

$\boldsymbol{B}=f(\boldsymbol{A})$ $\boldsymbol{C}=g(\boldsymbol{A})$ $\boldsymbol{BC}=\boldsymbol{CB}$ .

$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$ $(\boldsymbol A+\boldsymbol B)^n=\sum_{i=0}^n\mathrm{C}_n^i\boldsymbol{A}^iB^{n-i}$ .

1.2.3 矩阵的转置

转置

$\boldsymbol{A}_{m\texttimes n}=\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\ldots&a_{mn}\end{pmatrix}_{m\texttimes n}$ $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots&a_{m1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1n}&\ldots&a_{mn}\end{pmatrix}_{n\texttimes m}$ ，称为矩阵的转置。

原来的行成为现在的列，原来的列成为现在的行。

转置的性质

$(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^\mathrm{T}=\boldsymbol{A}$

$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^\mathrm{T}=\boldsymbol{A}^\mathrm{T}+\boldsymbol{B}^\mathrm{T}$

$(k\boldsymbol{A})^\mathrm{T}=k\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$

$(\boldsymbol{AB})^\mathrm{T}=\boldsymbol{B}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$

对称矩阵与反对称矩阵

$\boldsymbol{A}^\mathrm{T}=\boldsymbol{A}$ 的矩阵叫对称矩阵，关于主对角线对称的数字相同。

$\begin{pmatrix}1&1&2\\1&5&4\\2&4&8\end{pmatrix}$ .

$\boldsymbol{A}^\mathrm{T}=-\boldsymbol{A}$ 的矩阵叫反对称矩阵，关于主对角对称的数字相反，主对角线上数字均为0。

$\begin{pmatrix}0&1&2\\-1&0&-4\\-2&4&0\end{pmatrix}$ .

$n$ 阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

A = \frac{1}{2} (A + A^{T}) + \frac{1}{2} (A - A^{T})

$\left[\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^\mathrm{T})\right]^\mathrm{T}=\dfrac{1}{2}[\boldsymbol{A}^\mathrm{T}+(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^\mathrm{T}]=\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^\mathrm{T})$ ，为对称矩阵；

$\left[\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^\mathrm{T})\right]^\mathrm{T}=\dfrac{1}{2}[\boldsymbol{A}^\mathrm{T}-(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})^\mathrm{T}]=-\dfrac{1}{2}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^\mathrm{T})$ ，为反对称矩阵。

$\boldsymbol{A}^\mathrm{T}=\boldsymbol{A}$ $(\boldsymbol{A}^{-1})^\mathrm{T}=\boldsymbol{A}^{-1}$ .

1.3 分块矩阵

1.3.1 基本概念

$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&1&0\\0&1&0&1\\0&0&2&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{cc:cc}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\hdashline 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right)=\begin{pmatrix}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E}_2 \\ \boldsymbol{O}_2 & \boldsymbol{A}_2\end{pmatrix}$ ，

$\boldsymbol{A}_1=\pmatrix{1&2\\0&1}$ $\boldsymbol{A}_2=\pmatrix{2&1\\0&3}$ .

$\boldsymbol{A}$ $s\times t$ $\begin{pmatrix}\boldsymbol A_{11} & \ldots & \boldsymbol A_{1t} \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ \boldsymbol A_{s1} & \ldots & \boldsymbol A_{st}\end{pmatrix}$ 的矩阵，这种形式的矩阵称为分块矩阵。

1.3.2 常见分块矩阵

按列分块

$\boldsymbol{A}_{m\times n}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\space \ldots,\space\boldsymbol{\alpha}_n)$ $\boldsymbol{\alpha}_j$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量。

按行分块

$\boldsymbol{B}_{m\times n}=\pmatrix{\boldsymbol{\beta}_1\\\vdots\\\boldsymbol{\beta}_m}$ $\boldsymbol{\beta}_i$ $\boldsymbol{B}$ 的行向量。

分块对角矩阵

若分块矩阵主对角线上都是方阵，对角线之外均为零矩阵，则称为一个分块对角矩阵。

1.3.3 基本运算

分块矩阵的加法

$\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{A}_{kl})_{s\times t}$ $\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{B}_{kl})_{s\times t}$ $\boldsymbol{A}_{kl}$ $\boldsymbol{B}_{kl}$ $\boldsymbol A+\boldsymbol B=(\boldsymbol A_{kl}+\boldsymbol B_{kl})_{s\times t}$ .

分块矩阵的数乘

$\lambda$ $\lambda\boldsymbol{A}=(\lambda\boldsymbol{A}_{kl})_{s\times t}$ .

分块矩阵的乘法

两个分块矩阵和分块矩阵的每个小块都要满足矩阵能够相乘的条件，即左矩阵的列数=右矩阵的行数。若左矩阵列的划分和右矩阵行的划分匹配，分块矩阵可以相乘并应用普通矩阵相乘的规则。

$\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{A}_{ij})_{r\times s}$ $\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{B}_{jk})_{s\times t}$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{AB}=(\boldsymbol C_{ik})$ ，其中

C_{i k} = \sum_{m = 1}^{s} A_{i m} B_{m k} .

分块矩阵的转置

$\boldsymbol A=\pmatrix{\boldsymbol A_{11}&\boldsymbol A_{12}&\ldots&\boldsymbol A_{1t}\\\boldsymbol A_{21}&\boldsymbol A_{22}&\ldots&\boldsymbol A_{2t}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\boldsymbol A_{s1}&\boldsymbol A_{s2}&\ldots&\boldsymbol A_{st}}$ $\boldsymbol A^\mathrm{T}=\pmatrix{\boldsymbol A_{11}^\mathrm{T}&\boldsymbol A_{21}^\mathrm{T}&\ldots&\boldsymbol A_{s1}^\mathrm{T}\\\boldsymbol A_{12}^\mathrm{T}&\boldsymbol A_{22}^\mathrm{T}&\ldots&\boldsymbol A_{s2}^\mathrm{T}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\boldsymbol A_{1t}^\mathrm{T}&\boldsymbol A_{2t}^\mathrm{T}&\ldots&\boldsymbol A_{st}^\mathrm{T}}$ .

要将分块转置，也要将分块换成它自身的转置。

1.4 初等变换与初等矩阵

1.4.1 初等变换

线性方程组

$\begin{cases}x+2y=1 \\ 3x+4y=2,\end{cases}$

$\begin{pmatrix}x+2y\\3x+4y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ .

$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ $\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ $\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ $\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{\beta}$ . ——方程组的矩阵形式

$x\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.$ $\boldsymbol{\alpha_1}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ $\boldsymbol{\alpha_2}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$ $\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ $x\boldsymbol{\alpha_1}+y\boldsymbol{\alpha_2}=\boldsymbol{\beta}$ . ——方程组的向量形式

解线性方程组的方法：高斯消元。

初等变换

来源于解线性方程组的高斯消元法。

初等变换分为初等行变换和初等列变换，包含对换变换、倍乘变换、倍加变换。

对换变换 $\boldsymbol{A}_{m\texttimes n} \xrightarrow{r_i\leftrightarrow r_j} \boldsymbol{B}_{m\texttimes n}$ $\boldsymbol{A}_{m\texttimes n} \xrightarrow{c_i\leftrightarrow c_j} \boldsymbol{B}_{m\texttimes n}$ .

倍乘变换 $\boldsymbol{A}_{m\texttimes n} \xrightarrow{kr_i} \boldsymbol{B}_{m\texttimes n}$ $\boldsymbol{A}_{m\texttimes n} \xrightarrow{kc_i} \boldsymbol{B}_{m\texttimes n}$ . 不能用0倍乘。

倍加变换 $\boldsymbol{A}_{m\texttimes n} \xrightarrow{r_i+kr_j} \boldsymbol{B}_{m\texttimes n}$ $\boldsymbol{A}_{m\texttimes n} \xrightarrow{c_i+kc_j} \boldsymbol{B}_{m\texttimes n}$ .

矩阵等价

$\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ 列等价。

$\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol A\stackrel{r}{\cong}\boldsymbol B$ .

$\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol A\stackrel{c}{\cong}\boldsymbol B$ .

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol A\cong\boldsymbol B$ .

矩阵等价的性质：

反身性 $\boldsymbol A\cong\boldsymbol A$ .

对称性 $\boldsymbol A\cong\boldsymbol B$ $\boldsymbol B\cong\boldsymbol A$ .

传递性 $\boldsymbol A\cong\boldsymbol B$ $\boldsymbol B\cong\boldsymbol C$ $\boldsymbol A\cong\boldsymbol C$ .

判断矩阵等价，最好先把矩阵用初等变换化成一种“标准形式”，然后再判断是否等价。

用初等变换化简矩阵

$\boldsymbol{E}_{m\texttimes n}^{(r)}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_{r\texttimes r} & \boldsymbol{O}_{r\texttimes(n-r)}\\\boldsymbol{O}_{(m-r)\texttimes r} & \boldsymbol{O}_{(m-r)\texttimes(n-r)}\end{pmatrix}$ .

任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换，化为行列阶梯矩阵（不唯一）。

任何一个矩阵都可以通过有限次初等行变换，化为行最简形矩阵（唯一）。

任何一个矩阵都可以经过有限次初等变换化为等价标准形（唯一）。

1.4.2 初等矩阵

三种初等矩阵

对换矩阵 $i$ $j$ 行（列）得到的矩阵，

$\boldsymbol E(i,j)=\pmatrix{1&&&&&&&&&&\\&\ddots&&&&&&&&&\\&&1&&&&&&&&\\&&&0&\ldots&\ldots&\ldots&\stackrel{i行j列}{1}&&&\\&&&\vdots&1&&&\vdots&&&\\&&&\vdots&&\ddots&&\vdots&&&\\&&&\vdots&&&1&\vdots&&&\\&&&\stackrel{j行i列}{1}&\ldots&\ldots&\ldots&0&&&\\&&&&&&&&1&&\\&&&&&&&&&\ddots&\\&&&&&&&&&&1}$ .

倍乘矩阵 $k$ $i$ 行（列）得到的矩阵，

$\boldsymbol E(i(k))=\pmatrix{1&&&&&&\\&\ddots&&&&&\\&&1&&&&\\&&&\stackrel{i行i列}{k}&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots&\\&&&&&&1}$ .

倍加矩阵 $j$ $i$ $k$ $i$ $j$ 列）得到的矩阵，

$\boldsymbol E(i,j(k))=\pmatrix{1&&&&&&\\&\ddots&&&&&\\&&1&\ldots&\stackrel{i行j列}{k}&&\\&&&\ddots&\vdots&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots&\\&&&&&&1}$ .

初等矩阵与初等变换

$\boldsymbol{A} \xrightarrow{r_i\leftrightarrow r_j} \boldsymbol{B}$ $\boldsymbol B=\boldsymbol E(i,j)\boldsymbol A$ $\boldsymbol{A} \xrightarrow{c_i\leftrightarrow c_j} \boldsymbol{B}$ $\boldsymbol B=\boldsymbol A \boldsymbol E(i,j)$ .

$\boldsymbol{A} \xrightarrow{kr_i} \boldsymbol{B}$ $\boldsymbol B=\boldsymbol E(i(k))\boldsymbol A$ $\boldsymbol{A} \xrightarrow{kc_i} \boldsymbol{B}$ $\boldsymbol B=\boldsymbol A \boldsymbol E(i(k))$ .

$\boldsymbol A\xrightarrow{r_i+kr_j}\boldsymbol B$ $\boldsymbol B=\boldsymbol E(i,j(k))\boldsymbol A$ $\boldsymbol A\xrightarrow{c_i+kc_j}\boldsymbol B$ $\boldsymbol B=\boldsymbol A \boldsymbol E(i,j(k))$ .

初等行变换相当于把相应的初等矩阵乘在左边，初等列变换相当于把相应的初等矩阵乘在右边。

“左乘行，右乘列”。

标准分解

$\boldsymbol P_s\ldots\boldsymbol P_2\boldsymbol P_1\boldsymbol A=\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol A\boldsymbol Q_1\boldsymbol Q_2\ldots\boldsymbol Q_t=\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol{PQ}$ 均为初等矩阵。

$\boldsymbol P_s\ldots\boldsymbol P_2\boldsymbol P_1\boldsymbol A\boldsymbol Q_1\boldsymbol Q_2\ldots\boldsymbol Q_t=\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol{PQ}$ 均为初等矩阵。

$\boldsymbol{PAQ}=\boldsymbol B$ $\boldsymbol{PQ}$ 均为可逆矩阵。

$\boldsymbol A$ $\boldsymbol E^{(r)}_{m\texttimes n}$ $\boldsymbol P_{m\texttimes m}$ $\boldsymbol Q_{n\times n}$ $\boldsymbol A=\boldsymbol P\boldsymbol E^{(r)}_{m\texttimes n}\boldsymbol Q$ $\boldsymbol A$ 的标准分解。

标准分解不唯一。

1.5 方阵的逆矩阵

1.5.1 逆矩阵的概念

可逆运算

$n$ $\boldsymbol A$ $n$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}=\boldsymbol{E}_n$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B=\boldsymbol A^{-1}$ .

可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。

$\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ 不可逆。

矩阵可逆的判定

$0$ .

$\boldsymbol{E}^{(r)}_{n\texttimes n}$ $r=n$ .

若干个可逆矩阵的乘积矩阵仍然可逆。

矩阵可逆的性质

$(\boldsymbol A^{-1})^{-1}=\boldsymbol A$

$(\boldsymbol A^\mathrm{T})^{-1}=(\boldsymbol A^{-1})^\mathrm{T}$

$(k\boldsymbol A)^{-1}=\dfrac1k\boldsymbol A^{-1}$

$(\boldsymbol{AB})^{-1}=\boldsymbol B^{-1}\boldsymbol A^{{-1}}$

1.5.2 初等矩阵与可逆矩阵

初等矩阵都可逆，初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵。

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}$ 可以写成有限个初等矩阵的乘积。

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ 可逆。

1.5.3 用初等变换求逆矩阵

求逆矩阵的方法

用定义
$\boldsymbol A\texttimes B=\boldsymbol E$ $\boldsymbol B\texttimes\boldsymbol A=\boldsymbol E$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ 的逆矩阵。
用初等变换解矩阵方程
$\boldsymbol A_{n\times n}\boldsymbol X=\boldsymbol E_{n\times n}$ $\boldsymbol X=\boldsymbol A^{-1}$ .
$\boldsymbol X\boldsymbol A_{n\times n}=\boldsymbol E_{n\times n}$ $\boldsymbol X=\boldsymbol A^{-1}$ .
$(\boldsymbol{A},\boldsymbol{E})\xrightarrow{行变换}(\boldsymbol{E},\boldsymbol{C})$ $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{C}$ .
$\pmatrix{\boldsymbol{A}\\\boldsymbol{E}}\xrightarrow{列变换}\pmatrix{\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{C}}$ $\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{C}$ .
用伴随矩阵

$\pmatrix{a&b\\c&d}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\pmatrix{d&-b\\-c&a}$

解矩阵方程的方法

$\boldsymbol A_{n\times n}\boldsymbol X=\boldsymbol E_{n\times n}$ $\boldsymbol{PAX}=\boldsymbol{PE}$ .

$(\boldsymbol A\boldsymbol X,\boldsymbol E)$ $(\boldsymbol A,\boldsymbol E)$ .

$\boldsymbol P_1(\boldsymbol A\boldsymbol X,\boldsymbol E)=(\boldsymbol P_1\boldsymbol{AX},\boldsymbol P_1\boldsymbol E)$ $\boldsymbol P_2(\boldsymbol P_1\boldsymbol{AX},\boldsymbol P_1\boldsymbol E)=(\boldsymbol P_2\boldsymbol P_1\boldsymbol A\boldsymbol X,\boldsymbol P_2\boldsymbol P_1\boldsymbol E)$ …

$(\boldsymbol{EX},\boldsymbol C)$ $\boldsymbol{EX}=\boldsymbol{C}，\therefore \boldsymbol{X}=\boldsymbol{C}$ . 得解。

$\boldsymbol X\boldsymbol A_{n\times n}=\boldsymbol E_{n\times n}$ $\pmatrix{\boldsymbol X\boldsymbol A \\\boldsymbol E}$ $\pmatrix{\boldsymbol A\\\boldsymbol E}$ .

$(\boldsymbol{AX},\boldsymbol B)\xrightarrow{行变换}(\boldsymbol{CX},\boldsymbol D)$ $\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{CX}=\boldsymbol{D}$ 同解；

$\pmatrix{\boldsymbol{XA}\\\boldsymbol B}\xrightarrow{列变换}\pmatrix{\boldsymbol{XC}\\\boldsymbol D}$ $\boldsymbol{XA}=\boldsymbol B$ $\boldsymbol{XC}=\boldsymbol D$ 同解。

$\boldsymbol X$ 同样可以省略不写。

1.6 方阵的行列式

1.6.1 行列式的定义

行列式

$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ $\left|\begin{array} aa_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right|$ $\boldsymbol{A}$ $D$ $D_n$ $\det \boldsymbol{A}$ $|\boldsymbol{A}|$ .

$|a_{11}|=a_{11}$ .

对角线法则

$n=2$ $\left|\begin{array}aa_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ .

$n=3$ $\left|\begin{array}aa_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|=\begin{align*}a_{11}a_{22}a_{33}&+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\-a_{13}a_{22}a_{31}&-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\end{align*}$ .

$n!$ $n$ 项相乘。

对角线法则适用于二阶行列式和三阶行列式。

高阶行列式

$n$ 级排列 $n$ $1,2,\ldots,n$ $n$ $n$ 级排列不能缺数。

$n$ $n!$ 种。

逆序数 $\tau(2,1,3)=1$ $\tau(3,2,1)=3$ .

逆序数为偶数的叫偶排列，逆序数为奇数的叫奇排列。

$\tau=0$ 的排列法为自然排列或标准排列。

排列中发生一次对换，排列的奇偶性反转一次。

奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

高阶行列式

\begin{matrix} D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = \sum_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (- 1)^{τ (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n})} a_{1 i_{1}} a_{2 i_{2}} \dots a_{n i_{n}} \end{matrix}

$\begin{align*}\sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n}\end{align*}$ $n$ $i_1,i_2,\ldots,i_n$ $\tau(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ 是排列的逆序数。

行标为标准排列，列标为所有排列情况，符号为列标排列的奇偶性决定。

这里是行列式按行展开。操作过程中的行列互换即为按列展开。

$i_1,i_2,\ldots,i_n$ $j_1,j_2,\ldots,j_n$ $i_1,i_2,\ldots,i_n$ $j_1,j_2,\ldots,j_n$ $n$ $(-1)^{\tau(i_1,i_2,\ldots,i_n)+\tau(j_1,j_2,\ldots,j_n)}$ .

三角行列式

上三角行列式 $D_n=\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\0&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|=a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}$

下三角行列式 $D_n=\left|\begin{matrix}a_{11}&0&\ldots&0\\a_{21}&a_{22}&\ldots &0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{matrix}\right|=a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}$

对角形行列式 $D_n=\left|\begin{matrix}a_{11}&&&\\&a_{22}& &\\&&\ddots&\\&&&a_{nn}\end{matrix}\right|=a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}$

对角形行列式可视为上三角或下三角的一种。

注意，上三角行列式、下三角行列式、对角形行列式都是关于主对角线两侧的差异。

$-1^{\tau(n,n-1,n-2,\ldots,1)}=-1^{\frac{n(n-1)}{2}}$ .

次对角线上三角 $D_n=\left|\matrix{a_{11}&\dots&a_{1(n-1)}&a_{1n}\\a_{21}&\dots&a_{2(n-1)}\\\vdots&&&\\a_{n1}}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}\ldots a_{n1}$

次对角线下三角： $D_n=\left|\matrix{&&&a_{1n}\\&&a_{2(n-1)}&a_{2n}\\&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2(n-1)}\ldots a_{n1}$

初等矩阵的行列式

由三角行列式、行列式对换变换的性质可得：

$|E(i,j)|=-1$

$|E(i(k))|=k$

$|E(i,j(k))|=1$

1.6.2 行列式的性质

转置

$D=|\boldsymbol{A}|$ $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ $D$ $D^\mathrm{T}$ $D^\mathrm{T}=|\boldsymbol{A}^\mathrm{T}|$ .

$D=D^\mathrm{T}$ $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}^\mathrm{T}|$ .

由转置性质可知行列式中，对行成立的性质对列也一定成立。

对换变换

$\boldsymbol{A}$ $n(n\geq2)$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $|\boldsymbol{B}|=-|\boldsymbol{A}|$ .

倍乘变换

$\left|\matrix{ka&kb\\a&b}\right|=k\left|\matrix{a&b\\a&b}\right|$ .

$n$ $\boldsymbol{A}$ $|k\boldsymbol{A}|=k^n|\boldsymbol{A}|$ $|-\boldsymbol{A}|=(-1)^n|\boldsymbol{A}|$ .

两行完全相同或成比例

$D=0$ .

通过对换和倍乘的性质可证。

倍加变换

$k$ 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。

由加性和其它性质可证。

分块三角矩阵

分块矩阵没有对角线法则！

$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{m\times m}$ $\boldsymbol{B}=(b_{ij})_{n\times n}$ $\boldsymbol{C}=(c_{ij})_{m\times n}$ ，

$\left|\matrix{\boldsymbol{A}&\boldsymbol{C}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{B}}\right|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$ $\left|\matrix{\boldsymbol{A}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{C}&\boldsymbol{B}}\right|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$ .

$\left|\matrix{\boldsymbol{O}&\boldsymbol{A}\\\boldsymbol{B}&\boldsymbol{O}}\right|=(-1)^{mn}\left|\matrix{\boldsymbol{A}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{O}&\boldsymbol{B}}\right|=(-1)^{mn}|\boldsymbol{A}|\cdot|\boldsymbol{B}|$ .

$\left|\matrix{\boldsymbol{A}_1&&&&\\&\boldsymbol{A}_2&&&\\&&\boldsymbol{A}_3&&\\&&&\ddots&\\&&&&\boldsymbol{A}_n}\right|=|\boldsymbol{A}_1|\cdot|\boldsymbol{A}_2|\cdot\ldots\cdot|\boldsymbol{A}_n|$ .

行列式加性

$\left|\matrix{a+b&c+d\\e&f}\right|=\left|\matrix{a&c\\e&f}\right|+\left|\matrix{b&d\\e&f}\right|$ .

乘法定理

$|\boldsymbol{AB}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$ .

$|\boldsymbol{A_1}\ldots\boldsymbol{A_s}|=|\boldsymbol{A_1}|\dots|\boldsymbol{A_s}|$ .

行列式的展开

\begin{matrix} | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix} | = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + \dots + a_{1 n} \cdot A_{1 n} \end{matrix}

$A_{11}$ $A_{12}$ 为代数余子式，即第一行的元素与第一行的代数余子式对应相乘再求和。

$n$ $\det\boldsymbol{A}$ 按第一行的展开式。

余子式 $i$ $j$ $n-1$ $M_{ij}$ $A$ $i$ $j$ 列余子式。

代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ $i$ $j$ 列代数余子式。比余子式多出一个符号。

引理 $n$ $i$ $(i,j)$ $a_{ij}$ $a_{ij}$ $D=a_{ij}A_{ij}$ .

$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$ $n$ $i$ $j$ 列展开：

\begin{matrix} | A | = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} A_{i j} \\ | A | = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} + \dots + a_{n j} A_{n j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} A_{i j} \end{matrix}

异乘变零定理 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$ $i$ $j$ $0$ $i\neq j$ 时，

\begin{matrix} a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{i n} A_{j n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} A_{j k} = 0 \\ a_{1 i} A_{1 j} + a_{2 i} A_{2 j} + \dots + a_{n i} A_{n j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k i} A_{k j} = 0 \end{matrix}

由行列式对换的性质、按行展开可证。

$\delta_{ij}=\cases{1,\quad i=j,\\0,\quad i\neq j}$ ，表示关于行列式和代数余子式的重要结论：

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} A_{j k} = δ_{i j} D \\ \sum_{k = 1}^{n} a_{k i} A_{k j} = δ_{i j} D \end{matrix}

1.6.3 行列式的计算

二阶行列式、三阶行列式可用对角线法则计算。

计算数字型行列式最常用方法是把行列式化成三角形行列式。

化简数字型行列式为上三角行列式的一般步骤：

1. 用第一行将第一列的元素都处理为0

2. 先处理第1列，再处理第2列，以此类推

3. 处理完第1列后第1行不再参与运算

计算字母型行列式通常用行列式的性质，有时也用到按一行（列）展开，再利用数学归纳法和递推法。

Laplace展开

$k$ $k$ $k$ 阶子式与对应代数余子式乘积之和等于原行列式的值。

$D=\left|\begin{array}{cc:ccc}1&2&0&0&0\\3&4&0&0&0\\\hdashline1&2&3&4&5\\1&1&1&1&1\\6&6&8&3&1\end{array}\right|$ ，

$D=\left|\matrix{1&2\\3&4}\right|\times(-1)^{1+2+1+2}\left|\matrix{3&4&5\\1&1&1\\8&3&1}\right|$ .

Vandermonde行列式

\begin{matrix} D_{n} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{3} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & x_{3}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{matrix} | = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_{j} - x_{i}) \end{matrix}

$C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}$ 项相乘。可由数学归纳法证。

$D_3=\left|\matrix{1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\x_1^2&x_2^2& x_3^2}\right|=(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_2-x_1)$ .

1.6.4 行列式与逆矩阵

方阵可逆性

$n$ $\boldsymbol{A}$ $|\boldsymbol A|\neq 0$ .

$\boldsymbol{A}$ $n\geq 2$ $\boldsymbol{A}^{-1}=\dfrac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^*$ $\boldsymbol A^*$ $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵。

伴随矩阵

$\boldsymbol{A}=\pmatrix{a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}}$ $\boldsymbol{A^*}=\pmatrix{A_{11}&A_{21}&\ldots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\ldots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\ldots&A_{nn}}$ 为它的伴随矩阵。

$A_{11}$ 是代数余子式。

$\boldsymbol A^{-1}=\dfrac{1}{|\boldsymbol A|}\boldsymbol A^*$ $\therefore \boldsymbol A^*=\boldsymbol A^{-1}\times|\boldsymbol A|$ .

二阶矩阵的伴随矩阵 $\boldsymbol{B}=\pmatrix{a&b\\c&d}$ $\boldsymbol B^*=\pmatrix{d&-b\\-c&a}$ .

$|\boldsymbol A^*|=|\boldsymbol A|^{n-1}$

$(\boldsymbol A^*)^{-1}=\dfrac{\boldsymbol A}{|\boldsymbol A|}$

伴随矩阵的性质

$\boldsymbol{A}$ $n(n\geq2)$ $\boldsymbol{AA}^*=\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E}$ .

$\boldsymbol{A}=\mathrm{diag}(\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2,\ldots,\boldsymbol{A}_s)$ $\boldsymbol{A}^{-1}=\mathrm{diag}(\boldsymbol{A}_1^{-1},\boldsymbol{A}_2^{-1},\ldots,\boldsymbol{A}_s^{-1})$ .

Cramer法则

一类特殊的线性方程组的求解公式，适用于方程个数等于未知数的个数的情况。

$\boldsymbol{A_{n\times n}}\boldsymbol{X_{n\times1}}=\boldsymbol{b_{n\times1}}$ $\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_n)$ $\boldsymbol{x}=\pmatrix{x_1\\\vdots\\x_n}$ $\boldsymbol{b}=\pmatrix{b_1\\\vdots\\b_n}$ $D=|\boldsymbol{A}|\neq0$ ，则此线性方程组有唯一解：

$x_j=\dfrac{D_j}{D}$ .

$D_j=\det(\boldsymbol{\alpha}_1,\ldots,\boldsymbol{\alpha}_{j-1},\boldsymbol{b},\boldsymbol{\alpha}_{j+1},\ldots,\boldsymbol{\alpha}_n)$ $j=1,\ldots,n$ $D_j$ $\boldsymbol{b}$ $j$ 列得到的矩阵的行列式。

$n$ $n\geq4$ $(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})\xrightarrow{行变换}$ 求解。

1.7 矩阵的秩

1.7.1 基本概念

矩阵的子式

$\boldsymbol{A}_{m\times n}$ $k$ $k$ $(k\leq\min\{m,n\})$ $k$ $\boldsymbol{A}$ $k$ $\boldsymbol{A}_{m\times n}$ $C_m^kC_n^k$ $k$ 阶子式。

子式是行列式，是数字。

矩阵的秩

$\boldsymbol{A}_{m\times n}$ $\boldsymbol{E}_{m\times n}^{(r)}$ $r$ $\mathrm r$ $\mathrm r\left(\boldsymbol{E}_{m\times n}^{(r)}\right)=r$ .

$\boldsymbol{A}_{m\times n}$ $m\times n$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{A}$ $\mathrm r(\boldsymbol{A})$ .

$\boldsymbol A_{m\times n}$ $\rm r(\boldsymbol A)$ $\boldsymbol A$ 非零行的行数。

秩是一个自然数。

$\mathrm r(\boldsymbol{O})=0$ .

奇异方阵

$\boldsymbol{A}$ $n$ $|\boldsymbol{A}|\neq0$ $\boldsymbol{A}$ 为非奇异方阵，反之为奇异方阵。

$\boldsymbol A$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol A$ $|\boldsymbol A|\ne 0$ $\boldsymbol A$ 非奇异等表述等价。

满秩

$\mathrm r(\boldsymbol A_{m\times n})=m$ $\boldsymbol A$ 行满秩。

$\mathrm r(\boldsymbol A_{m\times n})=n$ $\boldsymbol A$ 列满秩。

$\mathrm r(\boldsymbol A_{n\times n})=n$ $\boldsymbol A$ 满秩。

1.7.2 几个重要结论

任意初等变换均不改变矩阵的秩。

推论1 $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $\mathrm r(\boldsymbol{A})=\mathrm r(\boldsymbol{B})$ .

推论2 $\boldsymbol{A}_{m\times n}$ $\boldsymbol{E}_{m\times n}^{(r)}$ $\mathrm r(\boldsymbol{A})=r$ .

推论3 $\mathrm r(\boldsymbol{A}^\mathrm{T})=\mathrm r(A)$ .

推论4 $\mathrm r(\boldsymbol{PAQ})=\mathrm r(\boldsymbol{A})$ $\boldsymbol{P}$ $\boldsymbol{Q}$ 可逆。

$\boldsymbol A$ $\boldsymbol{E}_{m\texttimes n}^{(r)}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_{r\texttimes r} & \boldsymbol{O}_{r\texttimes(n-r)}\\\boldsymbol{O}_{(m-r)\texttimes r} & \boldsymbol{O}_{(m-r)\texttimes(n-r)}\end{pmatrix}$ $r=\mathrm r(\boldsymbol A)$ .

求矩阵秩的方法

$\boldsymbol{A}_{m\times n}$ 化成行列阶梯矩阵，数行列阶梯矩阵的非零行的行数。

矩阵秩的不等式

秩与分块 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})\leq\mathrm{r}(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})\leq\mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ $\mathrm r(\boldsymbol{B})\leq\mathrm r(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})\leq\mathrm r(\boldsymbol{A})+\mathrm r(\boldsymbol{B})$

$\pmatrix{\boldsymbol{A}\\\boldsymbol{B}}$ 同理。

秩与加法 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})\leq\mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$

秩与乘法 $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})\leq\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{AB})\leq\mathrm r(\boldsymbol{B})$

秩与分块下三角 $\mathrm r\pmatrix{\boldsymbol{A}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{C}&\boldsymbol{B}}\geq\mathrm r(\boldsymbol{A})+\mathrm r(\boldsymbol{B})$

$\mathrm r_1=\mathrm r(\boldsymbol{A})$ $\mathrm r_2=\mathrm r(\boldsymbol{\boldsymbol{B}})$

$\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}_1=\boldsymbol{E}_{s\times n}^{(\mathrm r_1)}$ $\boldsymbol{P}_2\boldsymbol{B}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{E}_{n\times t}^{(\mathrm r_2)}$

$\pmatrix{\boldsymbol{P}_1&\\&\boldsymbol{P}_2}\pmatrix{\boldsymbol{A}&\\&\boldsymbol{B}}\pmatrix{\boldsymbol{Q}_1&\\&\boldsymbol{Q}_2}=\pmatrix{\boldsymbol{E}_{s\times n}^{(\mathrm r_1)}&\\&\boldsymbol{E}_{n\times t}^{(\mathrm r_2)}}$

$\begin{align*}\mathrm r\pmatrix{\boldsymbol{A}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{C}&\boldsymbol{B}}&=r\left(\pmatrix{\boldsymbol{P}_1&\\&\boldsymbol{P}_2}\pmatrix{\boldsymbol{A}&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{C}&\boldsymbol{D}}\pmatrix{\boldsymbol{Q}_1&\\&\boldsymbol{Q}_2}\right)\\&=\mathrm r\pmatrix{\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}_1&\boldsymbol{O}\\\boldsymbol{P}_2\boldsymbol{C}\boldsymbol{Q}_1&\boldsymbol{P}_2\boldsymbol{B}\boldsymbol{Q}_2}\\&=\mathrm r\pmatrix{\boldsymbol{E}_{s\times n}^{(\mathrm r_1)}&\\&\boldsymbol{E}_{n\times t}^{(\mathrm r_2)}}\geq \mathrm r_1 + \mathrm r_2\end{align*}$

秩与正交 $\boldsymbol{A}_{s\times n}\boldsymbol{B}_{n\times t}=\boldsymbol{O}$ $\mathrm r(\boldsymbol{A})+\mathrm r(\boldsymbol{B})\leq n$ .

逆矩阵与伴随矩阵的秩

$n\geq2$ $\boldsymbol{A}_{n\times n}$ $\mathrm r(\boldsymbol{A}^*)=\left\{ \begin{align*}n,\quad&\mathrm r(\boldsymbol A)=n \\1,\quad&\mathrm r(\boldsymbol A)=n -1\\0,\quad&\mathrm r(\boldsymbol A)<n-1. \\\end{align*}\right.$

$\boldsymbol A$ $\mathrm r(\boldsymbol A)=\mathrm r(\boldsymbol A^*)=n$ .

消去律

$\boldsymbol{A}_{m\times n}$ $\mathrm r(\boldsymbol{A}_{m\times n})=n$ $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{AC}$ $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$ .