📓 线性代数

第四章矩阵的特征值和特征向量

4.1 相似矩阵

矩阵相似

$\boldsymbol A,\boldsymbol B$ $n$ $\boldsymbol P$ $\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol{AP}=\boldsymbol B$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol B$ $\boldsymbol A\sim\boldsymbol B$ .

矩阵相似的性质

$\boldsymbol A,\boldsymbol B,\boldsymbol C$ $n$ 阶矩阵：

$\boldsymbol A\sim\boldsymbol A$ .

$\boldsymbol A\sim\boldsymbol B$ $\boldsymbol B\sim\boldsymbol A$ .

$\boldsymbol A\sim\boldsymbol B$ $\boldsymbol B\sim\boldsymbol C$ $\boldsymbol A\sim\boldsymbol C$ .

$\boldsymbol A\sim\boldsymbol B$ $f(x)$ $f(\boldsymbol A)\sim f(\boldsymbol B)$ .

相似矩阵的行列式相等。

相似矩阵秩相同。

矩阵的迹

$n$ $\boldsymbol A=(a_{ij})_{n\times n}$ $\boldsymbol A$ $\mathrm{tr}(\boldsymbol A)$ $\mathrm{tr}(\boldsymbol A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$ .

矩阵迹的性质

$\boldsymbol A,\boldsymbol B$ $n$ $k$ 为任意数，则

$\mathrm{tr}(\boldsymbol A+\boldsymbol B)=\mathrm{tr}(\boldsymbol A)+\mathrm{tr}(\boldsymbol B)$

$\mathrm{tr}(k\boldsymbol A)=k\mathrm{tr}(\boldsymbol A)$

$\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{BA})$

相似矩阵有相同的迹。

4.2 特征值与特征向量

特征值、特征向量

$\boldsymbol A$ $n$ $\lambda$ $\boldsymbol\xi$ $\boldsymbol{A\xi}=\lambda\boldsymbol\xi$ $\lambda$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol\xi$ $\boldsymbol A$ $\lambda$ 的特征向量。

$\boldsymbol{A\xi}=\lambda\boldsymbol\xi$ $\boldsymbol\xi\neq0$ $\forall k$ $\boldsymbol A(k\boldsymbol\xi)=k(\boldsymbol{A\xi})=k(\lambda\boldsymbol\xi)=\lambda(k\boldsymbol\xi)$ $k\boldsymbol\xi$ $\boldsymbol A$ $\lambda$ 的特征向量。

求全部特征值与特征向量

$\lambda_0$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol\xi$ $\lambda_0$ $\boldsymbol{A\xi}=\lambda_0\boldsymbol\xi$ $(\lambda_0\boldsymbol E-\boldsymbol A)\boldsymbol\xi=\boldsymbol0\;(\boldsymbol\xi\neq\boldsymbol0)$ $\boldsymbol\xi$ $(\lambda_0\boldsymbol E-\boldsymbol A)\boldsymbol x=\boldsymbol0$ $|\lambda_0\boldsymbol E-\boldsymbol A|=0$ .

$\boldsymbol A=(a_{ij})$ $n$ $\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A$ $\boldsymbol A$ 的特征矩阵，其行列式

\begin{matrix} | λ E - A | = | \begin{matrix} λ - a_{11} & - a_{12} & \dots & - a_{1 n} \\ - a_{21} & λ - a_{22} & \dots & - a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ - a_{n 1} & - a_{n 2} & \dots & λ - a_{n n} \end{matrix} | \end{matrix}

$\boldsymbol A$ $|\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A|=0$ $\boldsymbol A$ 的特征方程。

$\lambda_0$ $\boldsymbol A$ $\lambda_0$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol\xi$ $\boldsymbol A$ $\lambda_0$ $\boldsymbol\xi$ $(\lambda_0\boldsymbol E-\boldsymbol A)\boldsymbol x=\boldsymbol0$ 的一个非零解。

所以，有求特征值与特征向量的一般方法：

第一步 $\boldsymbol A$ $|\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A|$

第二步 $|\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A|=0$ $\boldsymbol A$ 的全部特征值

第三步 $\lambda_i\;(i=1,2,\cdots,n)$ $(\lambda_i\boldsymbol E-\boldsymbol A)\boldsymbol x=\boldsymbol0$ $\boldsymbol\eta_1,\cdots,\boldsymbol\eta_t$ $\boldsymbol A$ $\lambda_i$ $k_1\boldsymbol\eta_1+\cdots+k_t\boldsymbol\eta_t$ $k_1,\cdots,k_t$ $0$ 的数。

特征值的性质

相似矩阵具有相同的特征多项式，有相同的特征值。但特征多项式相同的矩阵未必相似。

$n$ $\boldsymbol A=(a_{ij})$ $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ ，则：

$\lambda_1+\cdots+\lambda_n=\mathrm{tr}(\boldsymbol A)$

$\lambda_1\cdots\lambda_n=|\boldsymbol A|$

化零多项式

$\boldsymbol A$ $p(x)$ $p(\boldsymbol A)=\boldsymbol 0$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol A$ 的特征值。

同一个矩阵的化零多项式可以有很多。

Cayley-Hamilton定理 $\boldsymbol A$ $c(x)$ $\boldsymbol A$ 的一个化零多项式。

最小多项式

$\boldsymbol A$ $m(\boldsymbol A)=\boldsymbol 0$ $\boldsymbol A$ 的特征值。

同一个矩阵的最小多项式只有一个。

$\lambda$ $\boldsymbol A$ $\lambda$ $m(x)$ $m(\lambda)=0$ .

$\boldsymbol A$ $m(x)$ 没有重根。

$m(x)$ $p(x)$ $c(x)$ .

相似的矩阵一定有相同的最小多项式。

最小多项式的求法

$\begin{align*}c(x)=\prod_{i=1}^s(x-\lambda_i)^{k_i}\end{align*}$ $\lambda_1,\cdots,\lambda_s$ $\begin{align*}m(x)=\prod_{i=1}^s(x-\lambda_i)^{k_i}\end{align*}$ $1\le a_i\le k_i$ .

计算过程：

第一步 求出特征多项式。

第二步 $p_1(x),\cdots,p_t(x)$ .

第三步 $p_i(x)$ $p_i(\boldsymbol A)$ 是否为零矩阵。

4.3 矩阵可相似对角化的条件

相似对角化

$n$ $\boldsymbol A$ $n$ $\boldsymbol\xi_1,\cdots,\boldsymbol\xi_n$ 。

$\boldsymbol P=(\boldsymbol\xi_1,\cdots,\boldsymbol\xi_n)$ $\boldsymbol\varLambda=\pmatrix{\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n}$ $\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol{AP}=\boldsymbol\varLambda$ .

$\boldsymbol A$ $\boldsymbol \varLambda$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol \varLambda$ $\boldsymbol A$ 的相似标准形。

$\boldsymbol A$ 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

$n$ $\boldsymbol A$ $n$ $\boldsymbol A$ 可相似对角化。

Jordan块

$n$ $\boldsymbol J_0=\pmatrix{\lambda_0&1\\&\lambda_0&\ddots\\&&\ddots&1\\&&&\lambda_0}_{k\times k}$ $k$ $k>1$ $\boldsymbol J_0$ 不能相似于对角阵。

$\boldsymbol A$ $n$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol J=\pmatrix{\boldsymbol J_1\\&\ddots\\&&\boldsymbol J_s}$ $\boldsymbol J_i=\pmatrix{\lambda_i&1\\&\lambda_i&\ddots\\&&\ddots&1\\&&&\lambda_i}$ $i=1,\cdots,s$ $\boldsymbol J$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol J_1,\cdots,\boldsymbol J_s$ $\boldsymbol J$ $\boldsymbol A$ 唯一确定。

$n$ 阶矩阵相似的充分必要条件是它们具有相同的Jordan标准形。

求Jordan标准形的方法 $\boldsymbol A\sim\boldsymbol J$ $\varphi(x)$ $\varphi(\boldsymbol A)\sim\varphi(\boldsymbol J)$ $\varphi(x)=(\lambda-x)^t$ $(\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A)^t\sim(\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol J)^t$ $\mathrm r(\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A)^t=\mathrm r(\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol J)^t$ .

$\boldsymbol A$ $\boldsymbol J_1,\cdots,\boldsymbol J_n$ $\mathrm r(\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A)^t$ $\mathrm r(\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol J)^t$ 进行比较排除，剩下的即为Jordan标准形。

4.4 实矩阵的相似对角化

$n$ $\boldsymbol A$ 的特征值未必是实数，它也未必相似于对角矩阵。

实对称矩阵的特征值为实数。

$\boldsymbol A$ 的属于不同特征值的特征向量是正交的。

$\boldsymbol A$ $n$ $\boldsymbol Q$ 使得

\begin{matrix} Q^{- 1} A Q = Q^{T} A Q = (\begin{matrix} λ_{1} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{matrix}) \end{matrix}

$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ $\boldsymbol A$ $\boldsymbol Q$ $\boldsymbol q_1,\cdots,\boldsymbol q_n$ $\boldsymbol A$ $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 的标准正交的特征向量组。