📓 线性代数

第五章 二次型

5.1 二次型及其矩阵表示

5.1.1 二次型的定义

二次型

含有$n$$n$个变量的多项式中每一项次数均为二次，该多项式称为$n$$n$元二次型。

由某个变量的平方构成的项称为平方项，两个变量相乘构成的项称为交叉项。

二次型的矩阵表示

二次型的一般形式：

令$a_{ij}=a_{ji}(1\le j<i\le n)$$a_{ij}=a_{ji}\space(1\leq j<i\leq n)$，即将交叉项的系数平分为两项，该二次型可以写成：

于是可以将系数整理成一个矩阵，

该矩阵称为二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)$$f(x_1,\cdots,x_n)$的矩阵，是一个实对称矩阵。显然，每个二次型的矩阵是唯一的，这个矩阵和二次型的关系为

令$\begin{array}{c}\mathit{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\end{array}$$\boldsymbol x=\pmatrix{x_1\\x_2\\\vdots\\x_n}$，该式也可写作$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$$f(x_1,\cdots,x_n)=\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol A\boldsymbol x$.

可逆线性变换

令$\begin{array}{c}\mathit{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)\end{array}$$\boldsymbol y=\pmatrix{y_1\\y_2\\\vdots\\y_n}$，如果$\mathit{P}$$\boldsymbol P$为$n$$n$阶可逆矩阵，则$\mathit{x}=\mathit{P}\mathit{y}$$\boldsymbol x=\boldsymbol{Py}$称为一个可逆线性变换。

$n$$n$元二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$$f(x_1,\cdots,x_n)=\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol A\boldsymbol x$经过可逆线性变换$\mathit{x}=\mathit{P}\mathit{y}$$\boldsymbol x=\boldsymbol{Py}$变成

记$\mathit{B}={\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}$$\boldsymbol B=\boldsymbol P^{\mathrm T}\boldsymbol{AP}$，则$g(y_1,\cdots ,y_n)={\mathit{y}}^{\mathrm{T}}\mathit{B}\mathit{y}$$g(y_1,\cdots,y_n)=\boldsymbol y^{\mathrm T}\boldsymbol{By}$，由于${\mathit{B}}^{\mathrm{T}}=({\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}{)}^{\mathrm{T}}={\mathit{P}}^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}={\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}=\mathit{B}$$\boldsymbol B^{\mathrm T}=(\boldsymbol P^{\mathrm T}\boldsymbol {AP})^{\mathrm T}=\boldsymbol P^{\mathrm T}\boldsymbol A^{\mathrm T}\boldsymbol P=\boldsymbol P^{\mathrm T}\boldsymbol {AP}=\boldsymbol B$，$\mathit{B}$$\boldsymbol B$也是对称矩阵，为二次型$g(y_1,\cdots ,y_n)$$g(y_1,\cdots,y_n)$的矩阵。

标准二次型

只含平方项，不含交叉项的二次型称为标准形式的二次型，简称标准形。

${\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$$\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol A\boldsymbol x$为标准形当且仅当$\mathit{A}$$\boldsymbol A$为对角阵。

如果二次型经过可逆线性变换使得$\begin{array}{c}{\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}=\left(\begin{array}{ccc}{d}_1& & \\ & \ddots & \\ & & d_n\end{array}\right)\end{array}$$\boldsymbol P^{\mathrm T}\boldsymbol {AP}=\pmatrix{d_1&&\\&\ddots&\\&&d_n}$，则该二次型被化为了标准形。二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)$$f(x_1,\cdots,x_n)$经过可逆线性变换化成标准形等价于对于实对称矩阵$\mathit{A}$$\boldsymbol A$，找到一个可逆矩阵$\mathit{P}$$\boldsymbol P$，使得${\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}$$\boldsymbol P^{\mathrm T}\boldsymbol{AP}$为对角矩阵。

5.1.2 矩阵的合同

矩阵合同

设$\mathit{A},\mathit{B}$$\boldsymbol A,\boldsymbol B$为$n$$n$阶矩阵，如果存在$n$$n$阶可逆矩阵$\mathit{P}$$\boldsymbol P$，使得${\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}=\mathit{B}$$\boldsymbol P^{\mathrm T}\boldsymbol {AP}=\boldsymbol B$，那么称矩阵$\mathit{A}$$\boldsymbol A$与$\mathit{B}$$\boldsymbol B$合同，记$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$$\boldsymbol A\simeq\boldsymbol B$.

合同的性质

$\mathit{A},\mathit{B},\mathit{C}$$\boldsymbol A,\boldsymbol B,\boldsymbol C$均为$n$$n$阶矩阵：

反身性：$\mathit{A}\simeq \mathit{A}$$\boldsymbol A\simeq\boldsymbol A$.

对称性：若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$$\boldsymbol A\simeq\boldsymbol B$，则$\mathit{B}\simeq \mathit{A}$$\boldsymbol B\simeq\boldsymbol A$.

传递性：若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$$\boldsymbol A\simeq\boldsymbol B$，$\mathit{B}\simeq \mathit{C}$$\boldsymbol B\simeq\boldsymbol C$，则$\mathit{A}\simeq \mathit{C}$$\boldsymbol A\simeq\boldsymbol C$.

若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$$\boldsymbol A\simeq\boldsymbol B$，则$\mathrm{r}(\mathit{A})=\mathrm{r}(\mathit{B})$$\mathrm r(\boldsymbol A)=\mathrm r(\boldsymbol B)$.

若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$$\boldsymbol A\simeq\boldsymbol B$，则$\mathit{A}$$\boldsymbol A$是对称矩阵和$\mathit{B}$$\boldsymbol B$是对称矩阵互为充要条件。

若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$$\boldsymbol A\simeq\boldsymbol B$，$\mathit{A}$$\boldsymbol A$、$\mathit{B}$$\boldsymbol B$均可逆，则${\mathit{A}}^{-1}\simeq {\mathit{B}}^{-1}$$\boldsymbol A^{-1}\simeq\boldsymbol B^{-1}$.

若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$$\boldsymbol A\simeq\boldsymbol B$，则${\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\simeq {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}$$\boldsymbol A^{\mathrm T}\simeq\boldsymbol B^{\mathrm T}$.

若$\mathit{A}$$\boldsymbol A$为实对称矩阵，则$\mathit{A}$$\boldsymbol A$合同于对角阵。

5.2 化二次型为标准形

5.2.1 用正交变换化二次型为标准形

正交变换

设$\mathit{Q}$$\boldsymbol Q$为正交矩阵，那么$\mathit{x}=\mathit{Q}\mathit{y}$$\boldsymbol x=\boldsymbol {Qy}$称为一个正交变换，这是一种特殊的可逆线性变换。

正交变换的一个重要作用是它能保持向量的长度，

主轴定理

二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$$f(x_1,\cdots,x_n)=\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol{Ax}$可经正交变换$\mathit{x}=\mathit{Q}\mathit{y}$$\boldsymbol x=\boldsymbol{Qy}$化成标准形${\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$$\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$，其中${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$为$\mathit{A}$$\boldsymbol A$的特征值。

5.2.2 用配方法化二次型为标准形

配方法化二次型为标准形

对于一般的二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)$$f(x_1,\cdots,x_n)$，先集中所有含$x_1$$x_1$的项，将其配成平方项并确保剩余的式子不再含有$x_1$$x_1$。然后对剩余的式子集中所有含$x_2$$x_2$的项，重复该过程直到将所有项配成平方项。

⚠️注意，线性变换的表达式为$\mathit{x}=\mathit{P}\mathit{y}$$\boldsymbol x=\boldsymbol {Py}$，而不是$\mathit{y}=\mathit{P}\mathit{x}$$\boldsymbol y=\boldsymbol{Px}$.

如果二次型不含平方项，可以令

先进行一步线性变换，得到新的二次型后继续使用配方法。

初等变换化二次型为标准形

对于二次型的矩阵$\mathit{A}$$\boldsymbol A$，构造$\left(\begin{array}{c}\mathit{A}\\ \mathit{E}\end{array}\right)$$\pmatrix{\boldsymbol A\\\boldsymbol E}$. 对$\mathit{A}$$\boldsymbol A$作初等行变换，并对于每一步的初等行变换都配套进行相同的初等列变换（即对$\mathit{A}$$\boldsymbol A$每次左乘初等矩阵${\mathit{P}}_0$$\boldsymbol P_0$时右乘${\mathit{P}}_0^{\mathrm{T}}$$\boldsymbol P_0^{\mathrm T}$）。当$\mathit{A}$$\boldsymbol A$被转化为对角矩阵时，即为二次型的标准形的矩阵。$\mathit{E}$$\boldsymbol E$位置对应的矩阵即为从原二次型转换为新二次型的线性变换$\mathit{P}$$\boldsymbol P$。

5.3 正定二次型

5.3.1 惯性定理

二次型的秩

对于二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$$f(x_1,\cdots,x_n)=\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol{Ax}$，称$\mathit{A}$$\boldsymbol A$的秩为这个二次型的秩，记为$\mathrm{r}(f)$$\mathrm r(f)$.

线性变换不改变二次型的秩。

二次型的规范型

上述将二次型从一般形式转化为标准形的过程都可以继续进行，直到将二次型转化为$z_1^2+\cdots +z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots -z_r^2$$z_1^2+\cdots+z_p^2-z^2_{p+1}-\cdots-z^2_r$的形式。即：所有的系数均为0、1或-1，且各项系数按照1、-1、0的顺序排列。这种形式称为二次型的规范型。

即对于$n$$n$阶对称实矩阵$\mathit{A}$$\boldsymbol A$，存在可逆矩阵$\mathit{P}$$\boldsymbol P$，使得

该矩阵即为二次型的规范型的矩阵。其中$p$$p$也称为$\mathit{A}$$\boldsymbol A$的正惯性指数，$q$$q$称为$\mathit{A}$$\boldsymbol A$的负惯性指数。二次型的秩$\mathrm{r}=p+q$$\mathrm r=p+q$.

惯性定理

二次型的规范型是唯一的。

5.3.2 二次型的正定性

正定性、负定性

若对于任意非零实向量$\begin{array}{c}\mathit{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\end{array}$$\boldsymbol x=\pmatrix{x_1\\\vdots\\x_n}$，总有$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}>0$$f(x_1,\cdots,x_n)=\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol{Ax}>0$，则称$f(x_1,\cdots ,x_n)$$f(x_1,\cdots,x_n)$为正定二次型，它对应的矩阵为正定矩阵。

若$f(x_1,\cdots ,x_n)<0$$f(x_1,\cdots,x_n)<0$、$\ge 0$$\ge0$、$\le 0$$\le0$，则分别称为负定、半正定、半负定。

可逆线性变换不改变二次型的正定性。

正定矩阵的性质

矩阵$\mathit{A}$$\boldsymbol A$为正定矩阵，与以下条件为充要关系：

(1) $\mathit{A}$$\boldsymbol A$的正惯性指数为$n$$n$

(2) $\mathit{A}$$\boldsymbol A$的特征值均大于$0$$0$.

(3) $\mathit{A}\simeq \mathit{E}$$\boldsymbol A\simeq\boldsymbol E$

(4) 存在可逆矩阵$\mathit{P}$$\boldsymbol P$，使得$\mathit{A}={\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}$$\boldsymbol A=\boldsymbol P^{\mathrm T}\boldsymbol P$

Sylvester定理

二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$$f(x_1,\cdots,x_n)=\boldsymbol x^{\mathrm T}\boldsymbol {Ax}$是正定的的充分必要条件是其矩阵$\mathit{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$$\boldsymbol A=(a_{ij})_{n\times n}$的各阶顺序主子式${\mathrm{\Delta }}_n$$\Delta_n$均大于0.

$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Delta }}_1& =a_{11}\\ {\mathrm{\Delta }}_2& =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\\ ⋮\\ {\mathrm{\Delta }}_n& =\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$\begin{align*}\Delta_1&=a_{11}\\\Delta_2&=\left|\matrix{a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}}\right|\\\vdots\\\Delta_n&=\left|\matrix{a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\,\,\,\vdots&\ddots&\,\,\,\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}}\right|\end{align*}$

矩阵正定的推论

矩阵$\mathit{A}$$\boldsymbol A$为正定矩阵，$|\mathit{A}|>0$$|\boldsymbol A|>0$.

若$\mathit{A}$$\boldsymbol A$正定，${\mathit{A}}^{-1}$$\boldsymbol A^{-1}$、${\mathit{A}}^{\ast }$$\boldsymbol A^*$、${\mathit{A}}^k$$\boldsymbol A^k$也正定。

若$\mathit{A}$$\boldsymbol A$正定，$\mathit{B}$$\boldsymbol B$正定或半正定，$\mathit{A}+\mathit{B}$$\boldsymbol A+\boldsymbol B$正定。

若$\mathit{A}$$\boldsymbol A$正定，则$\mathit{A}$$\boldsymbol A$的主对角线元素全部大于0.

5.4 二次曲面

椭球面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=1$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

虚椭球面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=-1$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=-1$

点：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=0$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=0$

单叶双曲面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}-{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=1$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$

双叶双曲面：$-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=1$$-\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

二次锥面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}-{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=0$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0$

椭圆抛物面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=z$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z$

双曲抛物面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=z$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=z$

椭圆柱面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

虚椭圆柱面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=-1$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=-1$

直线$z$$z$轴：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=0$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=0$

双曲柱面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$

一对相交平面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=0$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=0$

一对平行平面：$x^2=a^2$$x^2=a^2$

一对虚平行平面：$x^2=-a^2$$x^2=-a^2$

一对重合平面：$x^2=0$$x^2=0$

抛物柱面：$x^2=2py$$x^2=2py$