第二章 随机事件及其概率分布

2.1 随机变量

随机试验是指在相同条件下可重复进行，且结果具有不确定性的试验。随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用$\Omega$表示，样本空间中的元素称为样本点，用$\omega$表示。

随机变量是定义在样本空间$\Omega$上的实值函数，通常用大写字母$X$、$Y$、$Z$等表示。对于每个样本点$\omega \in \Omega$，都有$X(\omega )$一个实数与之对应，称为随机变量$X$在样本点$\omega$处的函数值。

随机变量建立了样本空间到实数集的映射，使得我们可以用数学方法研究随机现象。根据随机变量的取值情况，可以将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。

2.2 随机变量的分布函数

分布函数是描述随机变量概率分布的重要工具，对于随机变量$X$，其分布函数定义为：

$$F(x)=P(X\le x),x\in \mathbb{R}$$

分布函数具有以下性质：

1. 单调非减性：若$x_1<x_2$，则$F(x_1)\le F(x_2)$

2. 有界性：$0\le F(x)\le 1$，且$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=1$

3. 右连续性：对于任意$x_0$，有：$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}F(x)=F(x_0)$

4. 概率计算：对于任意$a<b$，有：

   $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$

   $P(X=a)=F(a)-F(a^{-})$

   其中$F(a^{-})$表示$F(x)$在$x=a$处的左极限。

2.3 离散型随机变量

2.3.1 离散型随机变量的分布律

离散型随机变量是指取值为有限个或可列无限个的随机变量。

分布律（又称概率函数）是描述离散型随机变量可能取值及其对应概率的表达式或表格，通常表示为：

$$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,\cdots$$

其中$x_i$为随机变量$X$的可能取值，$p_i$为相应的概率。

判断一个数列$\{p_i\}$是否为分布律的依据：

1. 非负性：$p_i\ge 0,i=1,2,\cdots$
2. 规范性：$\sum _i{p}_i=1$

2.3.2 常见的离散型随机变量

1. 0-1分布（两点分布）

若随机变量$X$只取0和1两个值，且$P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,0\le p\le 1$，则称$X$服从参数为$p$的0-1分布或两点分布，记作$X\sim b(1,p)$。

2. 二项分布

伯努利试验是只有两种可能结果的随机试验，这两种结果通常称为"成功"和"失败"，且各次试验相互独立，成功概率保持不变。

若随机变量$X$表示$n$次独立重复的伯努利试验中成功的次数，且每次试验成功的概率为$p$，则$X$服从参数为$(n,p)$的二项分布，记作$X\sim b(n,p)$，其分布律为：

$$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n$$

二项分布的性质：

• 期望：$E(X)=np$
• 方差：$D(X)=np(1-p)$
• 众数：
  1. 当$(n+1)p$为整数时，众数有两个：$(n+1)p-1$和$(n+1)p$，即$P(X=(n+1)p-1)=P(X=(n+1)p)$；
  2. 当$(n+1)p$不为整数时，众数为$\lfloor (n+1)p\rfloor$，即$P(X=\lfloor (n+1)p\rfloor )=max\{C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n\}$。

3. 泊松分布

若随机变量$X$的分布律为：

$$P(X=k)={\displaystyle \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}},k=0,1,2,\cdots$$

其中$\lambda >0$为常数，则称$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记作$X\sim P(\lambda )$。

泊松定理：当$n$很大、$p$很小且$np=\lambda$时，二项分布$B(n,p)$可以用泊松分布$P(\lambda )$近似：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}={\displaystyle \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}}$$

4. 超几何分布

从含有$M$个物品的总体中，其中有$N$个具有某种特征，不放回地抽取$n$个物品，若随机变量$X$表示抽到的具有该特征的物品数，则$X$服从的超几何分布，记为$X\sim H(N,M,n)$，其分布律为：

$$P(X=k)={\displaystyle \frac{C_N^k{C}_{M-N}^{n-k}}{C_M^n}},max(0,n+N-M)\le k\le min(n,N)$$

5. 几何分布

在伯努利试验序列中，若随机变量$X$表示首次成功所需的试验次数，且每次试验成功的概率为$p$，则$X$服从参数为$p$的几何分布，记为$X\sim G(p)$，其分布律为：

$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\cdots$$

6. 负二项分布

在伯努利试验序列中，若随机变量$X$表示获得第$r$次成功时所需的试验总次数，且每次试验成功的概率为$p$，则$X$服从参数为$(r,p)$的负二项分布，记为$X\sim NB(r,p)$，其分布律为：

$$P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}{p}^r(1-p{)}^{k-r},k=r,r+1,r+2,\cdots$$

负二项分布的性质：

• 期望：$E(X)=\frac{r}{p}$
• 方差：$D(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}$

特别地，当$r=1$时，负二项分布退化为几何分布。

2.4 连续型随机变量

2.4.1 连续型随机变量的概念

连续型随机变量是指存在非负可积函数$f(x)$，使得对于任意实数$x$，有：

$$F(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(t)dt$$

其中$f(x)$称为随机变量$X$的概率密度函数（简称密度函数）。

概率密度函数具有以下性质：

1. 非负性：$f(x)\ge 0,x\in \mathbb{R}$
2. 规范性：$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=1\end{array}$
3. 概率计算：对于任意$a<b$，有$\begin{array}{r}P(a<X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$
4. 对于连续型随机变量，$P(X=a)=0$

2.4.2 几个重要的连续型随机变量

1. 均匀分布

若随机变量$X$的概率密度函数为：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a}},& a\le x\le b\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

则称$X$服从区间$[a,b]$上的均匀分布，记作$X\sim U[a,b]$。

均匀分布的分布函数为：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a\\ {\displaystyle \frac{x-a}{b-a}},& a\le x<b\\ 1,& x\ge b\end{array}$$

2. 指数分布

若随机变量$X$的概率密度函数为：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$

其中$\lambda >0$为常数，则称$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，记作$X\sim Exp(\lambda )$。

指数分布的分布函数为：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$

指数分布具有无记忆性：$P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$

3. 正态分布

若随机变量$X$的概率密度函数为：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},x\in \mathbb{R}$$

其中$\mu \in \mathbb{R},\sigma >0$为常数，则称$X$服从参数为$(\mu ,{\sigma }^2)$的正态分布，记作$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

特别地，当$\mu =0,\sigma =1$时，称为标准正态分布，记作$Z\sim N(0,1)$。其概率密度函数为：

$$\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}},z\in \mathbb{R}$$

标准正态分布的分布函数记为$\Phi (z)$，

$$\Phi ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{e}^{-\frac{u^2}{2}}\mathrm{d}u,x\in \mathbb{R}$$

任何正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布：若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}\sim N(0,1)$。

2.5 随机变量函数的分布

当我们对随机变量进行函数变换后，新的随机变量的分布如何确定是一个重要问题。

2.5.1 离散型随机变量函数的分布

设$X$是离散型随机变量，其分布律为$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,\cdots$，若$Y=g(X)$，则$Y$也是离散型随机变量，其分布律为：

$$P(Y=y_j)=\sum _{g(x_i)=y_j}P(X=x_i)$$

2.5.2 连续型随机变量函数的分布

1. 分布函数法：设随机变量$X$的分布函数为$F_X(x)$，$Y=g(X)$是$X$的函数，则$Y$的分布函数为：

   $$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)$$

2. 密度函数法：若$X$是连续型随机变量，概率密度为$f_X(x)$，且$Y=g(X)$满足：

   • $g(x)$严格单调可导
   • $g^{\prime }(x)\ne 0$

   则$Y$的概率密度为：

   $$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{f}_X(g^{-1}(y))|\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)|,& y\in g(\mathbb{R})\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

3. 变量变换法：设$(X,Y)$是二维连续型随机变量，联合概率密度为$f(x,y)$。若变换$u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$满足一定条件，则$(U,V)$的联合密度为：

   $$f_{U,V}(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))\left|J\right|$$

   其中$J$是雅可比行列式：

   $$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|$$