行列式

1.1 矩阵的基本概念

1.1.1 矩阵的概念

由 $m \times n$ 个数 $a_{i j} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n)$ 按一定次序排列成 $m$ 行 $n$ 列的表：

A = {(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})}_{m \times n}

可记作 $(a_{i j})$ ， $(a_{i j})_{m \times n}$ 或 $A_{m \times n}$ .

对于元素 $a_{i j}$ ， $i$ 和 $j$ 分别叫做 $a_{i j}$ 的行指标和列指标。

元素都是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

1.1.2 几种特殊矩阵

方阵

行列数相同，即 $m = n$ 的矩阵为方阵。

方阵从左上到右下为主对角线，从右上到左下为次对角线。非方阵的矩阵没有对角线。

向量

一个 $1$ 行 $n$ 列的矩阵 $A_{1 \times n} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix})$ 可以称为一个行矩阵或行向量。

一个 $m$ 行 $1$ 列的矩阵 $A_{m \times 1} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ 可以称为一个列矩阵或列向量。

零矩阵

一个矩阵的所有元素均为0，称为零矩阵，记为 $O$ .

两个零矩阵不一定相等，因为类型不一定相同，如 $O_{1 \times 2} \neq O_{2 \times 3}$ .

对角、数量、单位矩阵

除主对角线外其它位置元素都为0的矩阵称为对角矩阵：

$Λ = (\begin{matrix} a_{11} \\ & a_{22} \\ & . . . \\ & a_{m n} \end{matrix}) = d i a g (a_{11}, a_{22}, . . ., a_{m n})$

这些位置上的数字都相同，称为数量矩阵：

$A = (\begin{matrix} a \\ a \\ \dots \\ a \end{matrix}) = d i a g (a, a, \dots, a)$

这些位置上的数字都为1，称为单位矩阵：

$E_{n} = I_{n} = {(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ . . . \\ 1 \end{matrix})}_{n \times n} = d i a g (1, 1, . . ., 1)$ ，也可写作 $E$ 或 $I$ .

三角矩阵

若一个方阵的主对角线下（上）面的元素全为零，则此矩阵称为上（下）三角矩阵。

E.g. 上三角矩阵 $(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{matrix})$ 下三角矩阵 $(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix})$

行列阶梯矩阵

若有一个矩阵 $A = (a_{i j})_{m \times n}$ 中各非零行的非零首元的列指标随着行指标的增大而严格增大，若有零行零行均在非零行下方，则此矩阵称为行列阶梯矩阵。

E.g. $(\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

行最简形矩阵

若有一个行列阶梯矩阵的每个非零行的非零首元均为1，并且此非零首元所在列的其余元素均为零，则此矩阵称为行最简形矩阵。

E.g. $(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

1.2 矩阵的基本运算

1.2.1 矩阵的线性运算

矩阵关系

同型矩阵：两个矩阵的行数和列数都相等。

$A = (a_{i j})_{m \times n}$ ， $B = (b_{i j})_{m \times n}$ ， $A B$ 为同型矩阵。

矩阵相等：两个同型矩阵的对应位置的元素均相等。

$a_{i j} = b_{i j}$ ， $A B$ 矩阵相等，记为 $A = B$ .

矩阵加法

类型相的矩阵才能相加，矩阵的相加即对应位置元素相加。

设矩阵 $A = (a_{i j})_{m \times n}$ ， $B = (b_{i j})_{m \times n}$ ， $C = A + B = (a_{i j} + b_{i j})_{m \times n}$ .

将 $- A = (- a_{i j})_{m \times n}$ 称为 $A$ 的负矩阵， $A + (- A) = O$ .

矩阵加法具有交换律、结合律。

任何矩阵加零矩阵 $O$ 后不变。

矩阵数乘

数乘 $k$ 即所有元素乘以系数 $k$ 。

设矩阵 $A = (a_{i j})_{m \times n}$ ， $k A = (k a_{i j})_{m \times n}$ .

数乘的性质：

$(k + l) A = k A + l A$

$k (A + B) = k A + k B$

$k (l A) = (k l) A$

$1 A = A$

1.2.2 矩阵的乘法

矩阵相乘

只有左边矩阵 $A$ 的列数等于右边矩阵 $B$ 的行数时，乘积 $A B$ 才有意义。

两个矩阵相乘，结果矩阵的行数为左边矩阵的行数、列数为右边矩阵的列数。

设矩阵 $A = (a_{i k})_{m \times s}$ ， $B = (b_{k j})_{s \times n}$ ， $C = A B = (c_{i j})_{m \times n}$ ，其中

c_{i j} = \sum_{k = 1}^{s} a_{i k} b_{k j} .

$A_{m \times s} B_{s \times n} = C_{m \times n}$ ，“中间相等，取两头”。

运算律

结合律： $(A B) C = A (B C)$ .

分配律： $A (B + C) = A B + A C$ ， $(B + C) A = B A + C A$ .

数乘系数位置可变： $k (A B) = (k A) B = A (k B)$ .

没有交换律。

$A B = O$ ，不能推出 $A = O$ 或 $B = O$ . 两非零矩阵的乘积也可能是零矩阵。

可交换

如果 $A B = B A$ ，我们称 $A$ 和 $B$ 可交换。

当 $A$ ， $B$ 为同阶对角矩阵时，有 $A B = B A$ .

$A B = A + B$ ，则 $B A = A + B$ . 证明： $∵ A B = A + B$ ， $∴ A B - A - B + E = E$ ， $∴ (A - E) (B - E) = E$ ， $∴ A - E$ 可逆且 $(A - E)^{- 1} = B - E$ .

矩阵相乘可交换的情况：

$A$ ， $B$ 为同阶对角矩阵

$A$ ， $B$ 中有一个为数量矩阵

$A$ 与 $A^{*}$ 、 $A$ 与 $A^{- 1}$

乘特殊矩阵

左乘或右乘零矩阵，结果得零矩阵。

左乘或右乘单位矩阵，结果不变。

乘对角矩阵

左乘对角矩阵，相当于每一行乘以对应元素；右乘对角矩阵，相当于每一列乘以对应元素。

(\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ ⋱ \\ d_{m} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} d_{1} a_{11} & d_{1} a_{12} & \dots & d_{1} a_{1 n} \\ d_{2} a_{21} & d_{2} a_{22} & \dots & d_{2} a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ d_{m} a_{m 1} & d_{m} a_{m 2} & \dots & d_{m} a_{m n} \end{matrix}),

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ ⋱ \\ d_{m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} d_{1} a_{11} & d_{2} a_{12} & \dots & d_{m} a_{1 n} \\ d_{1} a_{21} & d_{2} a_{22} & \dots & d_{m} a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ d_{1} a_{m 1} & d_{2} a_{m 2} & \dots & d_{m} a_{m n} \end{matrix}) .

特别的，若 $A$ 与 $B$ 为同阶对角矩阵，其乘积 $A B$ 仍为对角矩阵，且有

(\begin{matrix} a_{11} \\ ⋱ \\ a_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{11} \\ ⋱ \\ b_{n n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} b_{11} \\ ⋱ \\ a_{n n} b_{n n} \end{matrix}) .

矩阵的方幂

设 $k \geq 2$ ，定义 $A^{k} = \underset{k 个}{\underset{⏟}{A \cdot A \cdot A \cdot \dots \cdot A}}$ ，称为 $A$ 的 $k$ 次幂。要求 $A$ 为方阵。

定义 $A^{0} = E$ .

$A$ 的方幂总是和 $A$ 类型相同的方阵。

$A^{k} \cdot A^{l} = A^{k + l}$

$(A^{k})^{l} = A^{k l}$ .

$(A B)^{k}$ 与 $A^{k} B^{k}$ 未必相等。原因：无交换律。

矩阵多项式

$f (x) = a_{m} x^{m} + a_{m - 1} x^{m - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ 称为关于 $x$ 的 $m$ 次多项式（ $a_{m} \neq 0$ ）。

定义 $f (A) = a_{m} A^{m} + a_{m - 1} A^{m - 1} + \dots + a_{0} E$ ，称为矩阵 $A$ 的 $m$ 次多项式（ $a_{m} \neq 0$ ）。

$A^{k}$ 与 $A^{l}$ 、 $A^{k}$ 与 $E$ 都是可交换的，故矩阵多项式也可交换，即 $φ (A) f (A) = f (A) φ (A)$ .

$B = f (A)$ ，则 $A B = B A$ .

$B = f (A)$ ， $C = g (A)$ ，则 $B C = C B$ .

当 $A B = B A$ 时，有二项式定理 $(A + B)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} A^{i} B^{n - i}$ .

1.2.3 矩阵的转置

转置

若 $A_{m × n} = {(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix})}_{m × n}$ ，记 $A^{T} = {(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{m 1} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{1 n} & \dots & a_{m n} \end{matrix})}_{n × m}$ ，称为矩阵的转置。

原来的行成为现在的列，原来的列成为现在的行。

转置的性质

$(A^{T})^{T} = A$

$(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$

$(k A)^{T} = k A^{T}$

$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$

对称矩阵与反对称矩阵

满足 $A^{T} = A$ 的矩阵叫对称矩阵，关于主对角线对称的数字相同。

E.g. $(\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 8 \end{matrix})$ .

满足 $A^{T} = - A$ 的矩阵叫反对称矩阵，关于主对角对称的数字相反，主对角线上数字均为0。

E.g. $(\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 4 \\ - 2 & 4 & 0 \end{matrix})$ .

任何一个 $n$ 阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

A = \frac{1}{2} (A + A^{T}) + \frac{1}{2} (A - A^{T})

${[\frac{1}{2} (A + A^{T})]}^{T} = \frac{1}{2} [A^{T} + (A^{T})^{T}] = \frac{1}{2} (A + A^{T})$ ，为对称矩阵；

${[\frac{1}{2} (A - A^{T})]}^{T} = \frac{1}{2} [A^{T} - (A^{T})^{T}] = - \frac{1}{2} (A - A^{T})$ ，为反对称矩阵。

对称矩阵的逆矩阵仍为对称矩阵，即若 $A^{T} = A$ ，则 $(A^{- 1})^{T} = A^{- 1}$ .

1.3 分块矩阵

1.3.1 基本概念

E.g. $A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix}) = (\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}) = (\begin{matrix} A_{1} & E_{2} \\ O_{2} & A_{2} \end{matrix})$ ，

其中 $A_{1} = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ， $A_{2} = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix})$ .

用一些横线和纵线把矩阵 $A$ 分成 $s \times t$ 个“小矩阵”，得到的形如 $(\begin{matrix} A_{11} & \dots & A_{1 t} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{s 1} & \dots & A_{s t} \end{matrix})$ 的矩阵，这种形式的矩阵称为分块矩阵。

1.3.2 常见分块矩阵

按列分块

$A_{m \times n} = (α_{1}, \dots, α_{n})$ ，其中 $α_{j}$ 称为 $A$ 的列向量。

按行分块

$B_{m \times n} = (\begin{matrix} β_{1} \\ ⋮ \\ β_{m} \end{matrix})$ ，其中 $β_{i}$ 称为 $B$ 的行向量。

分块对角矩阵

若分块矩阵主对角线上都是方阵，对角线之外均为零矩阵，则称为一个分块对角矩阵。

1.3.3 基本运算

分块矩阵的加法

分块矩阵 $A = (A_{k l})_{s \times t}$ 与 $B = (B_{k l})_{s \times t}$ 的对应子块 $A_{k l}$ 和 $B_{k l}$ 均为同型矩阵时可以相加，且有 $A + B = (A_{k l} + B_{k l})_{s \times t}$ .

分块矩阵的数乘

$λ$ 是一个数， $λ A = (λ A_{k l})_{s \times t}$ .

分块矩阵的乘法

两个分块矩阵和分块矩阵的每个小块都要满足矩阵能够相乘的条件，即左矩阵的列数=右矩阵的行数。若左矩阵列的划分和右矩阵行的划分匹配，分块矩阵可以相乘并应用普通矩阵相乘的规则。

设矩阵 $A = (A_{i j})_{r \times s}$ 与 $B = (B_{j k})_{s \times t}$ ， $C = A B = (C_{i k})$ ，其中

C_{i k} = \sum_{m = 1}^{s} A_{i m} B_{m k} .

分块矩阵的转置

$A = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 t} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 t} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{s 1} & A_{s 2} & \dots & A_{s t} \end{matrix})$ ， $A^{T} = (\begin{matrix} A_{11}^{T} & A_{21}^{T} & \dots & A_{s 1}^{T} \\ A_{12}^{T} & A_{22}^{T} & \dots & A_{s 2}^{T} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{1 t}^{T} & A_{2 t}^{T} & \dots & A_{s t}^{T} \end{matrix})$ .

要将分块转置，也要将分块换成它自身的转置。

1.4 初等变换与初等矩阵

1.4.1 初等变换

线性方程组

有线性方程组 ${\begin{cases} x + 2 y = 1 \\ 3 x + 4 y = 2, \end{cases}$

可写作 $(\begin{matrix} x + 2 y \\ 3 x + 4 y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ ，即 $(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ .

令 $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})$ ， $X = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ ， $β = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ ，则方程组可记为 $A X = β$ . ——方程组的矩阵形式

还可写作 $x (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) + y (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) .$ 令 $α_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ ， $α_{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix})$ ， $β = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ ，则方程组可记为 $x α_{1} + y α_{2} = β$ . ——方程组的向量形式

解线性方程组的方法：高斯消元。

初等变换

来源于解线性方程组的高斯消元法。

初等变换分为初等行变换和初等列变换，包含对换变换、倍乘变换、倍加变换。

对换变换： $A_{m × n} \overset{r_{i} \leftrightarrow r_{j}}{\to} B_{m × n}$ ， $A_{m × n} \overset{c_{i} \leftrightarrow c_{j}}{\to} B_{m × n}$ .

倍乘变换： $A_{m × n} \overset{k r_{i}}{\to} B_{m × n}$ ， $A_{m × n} \overset{k c_{i}}{\to} B_{m × n}$ . 不能用0倍乘。

倍加变换： $A_{m × n} \overset{r_{i} + k r_{j}}{\to} B_{m × n}$ ， $A_{m × n} \overset{c_{i} + k c_{j}}{\to} B_{m × n}$ .

矩阵等价

如果矩阵 $A$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 行等价，矩阵 $A$ 经有限次初等列变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 列等价。

若矩阵 $A$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 行等价，记作 $A \overset{r}{≅} B$ .

若矩阵 $A$ 经有限次初等列变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 列等价，记作 $A \overset{c}{≅} B$ .

若矩阵 $A$ 经过有限次初等变换化为 $B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A ≅ B$ .

矩阵等价的性质：

反身性 $A ≅ A$ .

对称性 $A ≅ B$ 则 $B ≅ A$ .

传递性 $A ≅ B$ ， $B ≅ C$ ，则 $A ≅ C$ .

判断矩阵等价，最好先把矩阵用初等变换化成一种“标准形式”，然后再判断是否等价。

用初等变换化简矩阵

等价标准形： $E_{m × n}^{(r)} = (\begin{matrix} E_{r × r} & O_{r × (n - r)} \\ O_{(m - r) × r} & O_{(m - r) × (n - r)} \end{matrix})$ .

任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换，化为行列阶梯矩阵（不唯一）。

任何一个矩阵都可以通过有限次初等行变换，化为行最简形矩阵（唯一）。

任何一个矩阵都可以经过有限次初等变换化为等价标准形（唯一）。

1.4.2 初等矩阵

三种初等矩阵

对换矩阵：交换单位矩阵的第 $i$ 行（列）与第 $j$ 行（列）得到的矩阵，

$E (i, j) = (\begin{matrix} 1 \\ ⋱ \\ 1 \\ 0 & \dots & \dots & \dots & \overset{i 行 j 列}{1} \\ ⋮ & 1 & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & 1 & ⋮ \\ \overset{j 行 i 列}{1} & \dots & \dots & \dots & 0 \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{matrix})$ .

倍乘矩阵：用不为零的数 $k$ 去乘单位矩阵的第 $i$ 行（列）得到的矩阵，

$E (i (k)) = (\begin{matrix} 1 \\ ⋱ \\ 1 \\ \overset{i 行 i 列}{k} \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{matrix})$ .

倍加矩阵：将单位矩阵的第 $j$ 行（ $i$ 列）乘以常数 $k$ 加到第 $i$ 行（ $j$ 列）得到的矩阵，

$E (i, j (k)) = (\begin{matrix} 1 \\ ⋱ \\ 1 & \dots & \overset{i 行 j 列}{k} \\ ⋱ & ⋮ \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{matrix})$ .

初等矩阵与初等变换

对换变换 $A \overset{r_{i} \leftrightarrow r_{j}}{\to} B$ ，则 $B = E (i, j) A$ . $A \overset{c_{i} \leftrightarrow c_{j}}{\to} B$ ，则 $B = A E (i, j)$ .

倍加变换 $A \overset{k r_{i}}{\to} B$ ，则 $B = E (i (k)) A$ . $A \overset{k c_{i}}{\to} B$ ，则 $B = A E (i (k))$ .

倍乘变换 $A \overset{r_{i} + k r_{j}}{\to} B$ ，则 $B = E (i, j (k)) A$ . $A \overset{c_{i} + k c_{j}}{\to} B$ ，则 $B = A E (i, j (k))$ .

初等行变换相当于把相应的初等矩阵乘在左边，初等列变换相当于把相应的初等矩阵乘在右边。

“左乘行，右乘列”。

标准分解

当且仅当 $P_{s} \dots P_{2} P_{1} A = B$ ， $A$ 与 $B$ 行等价；当且仅当 $A Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} = B$ ， $A$ 与 $B$ 列等价。 $P Q$ 均为初等矩阵。

当且仅当 $P_{s} \dots P_{2} P_{1} A Q_{1} Q_{2} \dots Q_{t} = B$ ， $A$ 与 $B$ 等价， $P Q$ 均为初等矩阵。

即： $P A Q = B$ ， $P Q$ 均为可逆矩阵。

设 $A$ 的等价标准形为 $E_{m × n}^{(r)}$ ，则存在可逆矩阵 $P_{m × m}$ 和可逆矩阵 $Q_{n \times n}$ ，使得 $A = P E_{m × n}^{(r)} Q$ ，称为 $A$ 的标准分解。

标准分解不唯一。

1.5 方阵的逆矩阵

1.5.1 逆矩阵的概念

可逆运算

设有 $n$ 阶方阵 $A$ ，存在 $n$ 阶方阵 $B$ 使得 $A B = B A = E_{n}$ ，则称 $A$ 为可逆矩阵， $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记为 $B = A^{- 1}$ .

可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。

若不存在这样的 $B$ ，则说 $A$ 不可逆。

矩阵可逆的判定

对角阵可逆当且仅当对角元均不等于 $0$ .

等价标准形矩阵 $E_{n × n}^{(r)}$ 可逆当且仅当 $r = n$ .

若干个可逆矩阵的乘积矩阵仍然可逆。

矩阵可逆的性质

$(A^{- 1})^{- 1} = A$

$(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$

$(k A)^{- 1} = \frac{1}{k} A^{- 1}$

$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$

1.5.2 初等矩阵与可逆矩阵

初等矩阵都可逆，初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵。

方阵 $A$ 可逆，当且仅当 $A$ 可以写成有限个初等矩阵的乘积。

若 $A$ 与 $B$ 等价，则 $A$ 可逆当且仅当 $B$ 可逆。

1.5.3 用初等变换求逆矩阵

求逆矩阵的方法

用定义
若 $A × B = E$ ，或 $B × A = E$ ，则 $A$ 可逆，且 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵。
用初等变换解矩阵方程
若 $A_{n \times n} X = E_{n \times n}$ ，则 $X = A^{- 1}$ .
若 $X A_{n \times n} = E_{n \times n}$ ，则 $X = A^{- 1}$ .
$(A, E) \overset{行变换}{\to} (E, C)$ ，则 $A^{- 1} = C$ .
$(\begin{matrix} A \\ E \end{matrix}) \overset{列变换}{\to} (\begin{matrix} E \\ C \end{matrix})$ ，则 $A^{- 1} = C$ .
用伴随矩阵

二阶矩阵的逆矩阵公式： ${(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})$

解矩阵方程的方法

$A_{n \times n} X = E_{n \times n}$ ，左右同乘 $P A X = P E$ .

构造分块矩阵 $(A X, E)$ ，可以写作 $(A, E)$ .

进行行变换， $P_{1} (A X, E) = (P_{1} A X, P_{1} E)$ ， $P_{2} (P_{1} A X, P_{1} E) = (P_{2} P_{1} A X, P_{2} P_{1} E)$ …

最终转化为 $(E X, C)$ 的形式，可知 $E X = C ， ∴ X = C$ . 得解。

对于方程 $X A_{n \times n} = E_{n \times n}$ 可以用同样的方法：构造分块矩阵 $(\begin{matrix} X A \\ E \end{matrix})$ ，可以写作 $(\begin{matrix} A \\ E \end{matrix})$ .

若 $(A X, B) \overset{行变换}{\to} (C X, D)$ ，则 $A X = B$ 与 $C X = D$ 同解；

若 $(\begin{matrix} X A \\ B \end{matrix}) \overset{列变换}{\to} (\begin{matrix} X C \\ D \end{matrix})$ ，则 $X A = B$ 与 $X C = D$ 同解。

$X$ 同样可以省略不写。

1.6 方阵的行列式

1.6.1 行列式的定义

行列式

设方阵 $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$ ，用记号 $| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix} |$ 表示 $A$ 的行列式，记作 $D$ ， $D_{n}$ ， $det A$ 或 $| A |$ .

一阶方阵的行列式 $| a_{11} | = a_{11}$ .

对角线法则

$n = 2$ 时， $| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ .

$n = 3$ 时， $| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = \begin{aligned} a_{11} a_{22} a_{33} & + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} \\ - a_{13} a_{22} a_{31} & - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} \end{aligned}$ .

行列式中一共有 $n!$ 项，一半的项为正、一半的项为负，每一项都是 $n$ 项相乘。

对角线法则适用于二阶行列式和三阶行列式。

高阶行列式

$n$ 级排列：由 $n$ 个自然数 $1, 2, \dots, n$ 按任意次序排成一列所得的 $n$ 元数组。注意： $n$ 级排列不能缺数。

$n$ 级排列一共有 $n!$ 种。

逆序数：大数排在小数前面的情况总数。如 $τ (2, 1, 3) = 1$ ， $τ (3, 2, 1) = 3$ .

逆序数为偶数的叫偶排列，逆序数为奇数的叫奇排列。

$τ = 0$ 的排列法为自然排列或标准排列。

排列中发生一次对换，排列的奇偶性反转一次。

奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

高阶行列式

D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = \sum_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (- 1)^{τ (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n})} a_{1 i_{1}} a_{2 i_{2}} \dots a_{n i_{n}}

其中 $\begin{array}{r} \sum_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} \end{array}$ 表示对所有 $n$ 级排列 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}$ 求和， $τ (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n})$ 是排列的逆序数。

行标为标准排列，列标为所有排列情况，符号为列标排列的奇偶性决定。

这里是行列式按行展开。操作过程中的行列互换即为按列展开。

判断一个式子是否是表达式中的项，充分必要条件是： $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}$ 互不相同，且 $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n}$ 也互不相同。即 $i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}$ 和 $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n}$ 都是 $n$ 级排列。该项的符号是： $(- 1)^{τ (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}) + τ (j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n})}$ .

三角行列式

上三角行列式： $D_{n} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} \dots a_{n n}$

下三角行列式： $D_{n} = | \begin{matrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} \dots a_{n n}$

对角形行列式： $D_{n} = | \begin{matrix} a_{11} \\ a_{22} \\ ⋱ \\ a_{n n} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} \dots a_{n n}$

对角形行列式可视为上三角或下三角的一种。

注意，上三角行列式、下三角行列式、对角形行列式都是关于主对角线两侧的差异。

关于次对角线两侧差异的“山寨三角形”，前面需要加上符号项 $- 1^{τ (n, n - 1, n - 2, \dots, 1)} = - 1^{\frac{n (n - 1)}{2}}$ .

次对角线上三角： $D_{n} = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 (n - 1)} & a_{1 n} \\ a_{21} & \dots & a_{2 (n - 1)} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \end{matrix} | = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1 n} a_{2 (n - 1)} \dots a_{n 1}$

次对角线下三角： $D_{n} = | \begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 (n - 1)} & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1 n} a_{2 (n - 1)} \dots a_{n 1}$

初等矩阵的行列式

由三角行列式、行列式对换变换的性质可得：

$| E (i, j) | = - 1$

$| E (i (k)) | = k$

$| E (i, j (k)) | = 1$

1.6.2 行列式的性质

转置

$D = | A |$ ， $A^{T}$ 的行列式也被称为 $D$ 的转置，记为 $D^{T}$ ， $D^{T} = | A^{T} |$ .

转置不改变行列式的值。 $D = D^{T}$ ，即 $| A | = | A^{T} |$ .

由转置性质可知行列式中，对行成立的性质对列也一定成立。

对换变换

$A$ 为 $n (n \geq 2)$ 阶矩阵，若对 $A$ 进行一次对换变换得到 $B$ ，则 $| B | = - | A |$ .

倍乘变换

一行乘以一个倍数，等于这个数乘以行列式， $| \begin{matrix} k a & k b \\ a & b \end{matrix} | = k | \begin{matrix} a & b \\ a & b \end{matrix} |$ .

因此，对于 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $| k A | = k^{n} | A |$ . 特别地， $| - A | = (- 1)^{n} | A |$ .

两行完全相同或成比例

若行列式中有两行（列）完全相同，则行列式 $D = 0$ .

若行列式有两行（列）对应元素成比例，则行列式 $D = 0$ .

若行列式中有零行（列），则行列式 $D = 0$ .

通过对换和倍乘的性质可证。

倍加变换

将行列式的某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。

由加性和其它性质可证。

分块三角矩阵

分块矩阵没有对角线法则！

设 $A = (a_{i j})_{m \times m}$ ， $B = (b_{i j})_{n \times n}$ ， $C = (c_{i j})_{m \times n}$ ，

$| \begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix} | = | A | | B |$ ， $| \begin{matrix} A & O \\ C & B \end{matrix} | = | A | | B |$ .

$| \begin{matrix} O & A \\ B & O \end{matrix} | = (- 1)^{m n} | \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} | = (- 1)^{m n} | A | \cdot | B |$ .

$| \begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \\ ⋱ \\ A_{n} \end{matrix} | = | A_{1} | \cdot | A_{2} | \cdot \dots \cdot | A_{n} |$ .

行列式加性

$| \begin{matrix} a + b & c + d \\ e & f \end{matrix} | = | \begin{matrix} a & c \\ e & f \end{matrix} | + | \begin{matrix} b & d \\ e & f \end{matrix} |$ .

乘法定理

$| A B | = | A | | B |$ .

$| A_{1} \dots A_{s} | = | A_{1} | \dots | A_{s} |$ .

行列式的展开

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix} | = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + \dots + a_{1 n} \cdot A_{1 n}

$A_{11}$ 、 $A_{12}$ 为代数余子式，即第一行的元素与第一行的代数余子式对应相乘再求和。

该式称为 $n$ 阶行列式 $det A$ 按第一行的展开式。

余子式 把第 $i$ 行、第 $j$ 列都划掉，剩下的 $n - 1$ 阶方阵的行列式记作 $M_{i j}$ ，称为 $A$ 的 $i$ 行 $j$ 列余子式。

代数余子式 $A_{i j} = (- 1)^{i + j} M_{i j}$ ，称为A的 $i$ 行 $j$ 列代数余子式。比余子式多出一个符号。

引理一个 $n$ 阶行列式，如果其中第 $i$ 行所有元素除 $(i, j)$ 元 $a_{i j}$ 外都为零，那么这行列式等于 $a_{i j}$ 与它的代数余子式的乘积，即 $D = a_{i j} A_{i j}$ .

设 $A = (a_{i j})_{n \times n}$ 为 $n$ 阶矩阵，分别按 $i$ 行、 $j$ 列展开：

| A | = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} A_{i j} | A | = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} + \dots + a_{n j} A_{n j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} A_{i j}

异乘变零定理 $A = (a_{i j})_{n \times n}$ 的第 $i$ 行元素与另一行 $j$ 行的代数余子式对应相乘再求和等于 $0$ ，即当 $i \neq j$ 时，

a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{i n} A_{j n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} A_{j k} = 0 a_{1 i} A_{1 j} + a_{2 i} A_{2 j} + \dots + a_{n i} A_{n j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k i} A_{k j} = 0

由行列式对换的性质、按行展开可证。

利用克罗内克(Kronecker)符号 $δ_{i j} = {\begin{cases} 1, i = j, \\ 0, i \neq j \end{cases}$ ，表示关于行列式和代数余子式的重要结论：

\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} A_{j k} = δ_{i j} D \sum_{k = 1}^{n} a_{k i} A_{k j} = δ_{i j} D

1.6.3 行列式的计算

二阶行列式、三阶行列式可用对角线法则计算。

计算数字型行列式最常用方法是把行列式化成三角形行列式。

化简数字型行列式为上三角行列式的一般步骤：

1. 用第一行将第一列的元素都处理为0

2. 先处理第1列，再处理第2列，以此类推

3. 处理完第1列后第1行不再参与运算

计算字母型行列式通常用行列式的性质，有时也用到按一行（列）展开，再利用数学归纳法和递推法。

Laplace展开

取定行列式的 $k$ 行，在该 $k$ 行中所有的 $k$ 阶子式与对应代数余子式乘积之和等于原行列式的值。

E.g. $D = | \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 6 & 8 & 3 & 1 \end{array} |$ ，

取定前两行，唯一取得的非零二阶子式为前两列， $D = | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} | \times (- 1)^{1 + 2 + 1 + 2} | \begin{matrix} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 8 & 3 & 1 \end{matrix} |$ .

Vandermonde行列式

D_{n} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{3} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & x_{3}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{matrix} | = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_{j} - x_{i})

共 $C_{n}^{2} = \frac{n (n - 1)}{2}$ 项相乘。可由数学归纳法证。

E.g. $D_{3} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{matrix} | = (x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) (x_{2} - x_{1})$ .

1.6.4 行列式与逆矩阵

方阵可逆性

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆，当且仅当数字 $| A | \neq 0$ .

当 $A$ 可逆且 $n \geq 2$ 时， $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*}$ ， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

伴随矩阵

矩阵 $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$ ，称 $A^{*} = (\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{matrix})$ 为它的伴随矩阵。

$A_{11}$ 是代数余子式。

$A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*}$ ， $∴ A^{*} = A^{- 1} \times | A |$ .

二阶矩阵的伴随矩阵：主对角线元素交换，次对角线元素变号。 $B = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ ， $B^{*} = (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})$ .

$| A^{*} | = | A |^{n - 1}$

$(A^{*})^{- 1} = \frac{A}{| A |}$

伴随矩阵的性质

$A$ 为 $n (n \geq 2)$ 阶矩阵， $A A^{*} = A^{*} A = | A | E$ .

分块对角矩阵 $A = diag (A_{1}, A_{2}, \dots, A_{s})$ ， $A^{- 1} = diag (A_{1}^{- 1}, A_{2}^{- 1}, \dots, A_{s}^{- 1})$ .

Cramer法则

一类特殊的线性方程组的求解公式，适用于方程个数等于未知数的个数的情况。

设线性方程组 $A_{n \times n} X_{n \times 1} = b_{n \times 1}$ ，其中 $A = (a_{i j})_{n \times n} = (α_{1}, \dots, α_{n})$ ， $x = (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$ ， $b = (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})$ ，若系数矩阵的行列式 $D = | A | \neq 0$ ，则此线性方程组有唯一解：

$x_{j} = \frac{D_{j}}{D}$ .

其中 $D_{j} = det (α_{1}, \dots, α_{j - 1}, b, α_{j + 1}, \dots, α_{n})$ ， $j = 1, \dots, n$ . 即 $D_{j}$ 是用结果矩阵 $b$ 替换系数矩阵中的第 $j$ 列得到的矩阵的行列式。

当 $n$ 比较大时（例如 $n \geq 4$ 时），一般不用Cramer法则求解具体的线性方程组，而是用 $(A, b) \overset{行变换}{\to}$ 求解。

1.7 矩阵的秩

1.7.1 基本概念

矩阵的子式

从 $A_{m \times n}$ 中任取 $k$ 行 $k$ 列 $(k \leq min {m, n})$ ，这些行列相交处的元素按原顺序重组为 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $k$ 阶子式。矩阵 $A_{m \times n}$ 一共有 $C_{m}^{k} C_{n}^{k}$ 个 $k$ 阶子式。

子式是行列式，是数字。

矩阵的秩

矩阵 $A_{m \times n}$ 的等价标准形 $E_{m \times n}^{(r)}$ 唯一确定， $r$ 称为矩阵的秩，记为 $r$ 。即 $r (E_{m \times n}^{(r)}) = r$ .

设 $A_{m \times n}$ 为 $m \times n$ 非零矩阵，称 $A$ 中所有不为零的子式的最高阶数为矩阵 $A$ 的秩，记作 $r (A)$ .

设 $A_{m \times n}$ 为行阶梯形矩阵， $R m r (A)$ 等于 $A$ 非零行的行数。

秩是一个自然数。

对于零矩阵，定义 $r (O) = 0$ .

奇异方阵

$A$ 为 $n$ 阶方阵，若 $| A | \neq 0$ ，则称 $A$ 为非奇异方阵，反之为奇异方阵。

对方阵 $A$ 而言， $A$ 可逆、 $A$ 满秩、 $| A | \neq 0$ 、 $A$ 非奇异等表述等价。

满秩

若 $r (A_{m \times n}) = m$ ，则称矩阵 $A$ 行满秩。

若 $r (A_{m \times n}) = n$ ，则称矩阵 $A$ 列满秩。

若 $r (A_{n \times n}) = n$ ，则称方阵 $A$ 满秩。

1.7.2 几个重要结论

任意初等变换均不改变矩阵的秩。

推论1 若 $A$ 与 $B$ 等价，则 $r (A) = r (B)$ .

推论2 若 $A_{m \times n}$ 的等价标准形为 $E_{m \times n}^{(r)}$ ，则 $r (A) = r$ .

推论3 转置不改变矩阵的秩， $r (A^{T}) = r (A)$ .

推论4 $r (P A Q) = r (A)$ ，其中 $P$ 、 $Q$ 可逆。

任意矩阵 $A$ 的等价标准形 $E_{m × n}^{(r)} = (\begin{matrix} E_{r × r} & O_{r × (n - r)} \\ O_{(m - r) × r} & O_{(m - r) × (n - r)} \end{matrix})$ 唯一确定， $r = r (A)$ .

求矩阵秩的方法

用初等变换把 $A_{m \times n}$ 化成行列阶梯矩阵，数行列阶梯矩阵的非零行的行数。

矩阵秩的不等式

秩与分块 $r (A) \leq r (A, B) \leq r (A) + r (B)$ ， $r (B) \leq r (A, B) \leq r (A) + r (B)$

$(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix})$ 同理。

秩与加法 $r (A + B) \leq r (A) + r (B)$

秩与乘法 $r (A B) \leq r (A)$ ， $r (A B) \leq r (B)$

秩与分块下三角 $r (\begin{matrix} A & O \\ C & B \end{matrix}) \geq r (A) + r (B)$

证明：令 $r_{1} = r (A)$ ， $r_{2} = r (B)$

有 $P_{1} A Q_{1} = E_{s \times n}^{(r_{1})}$ ， $P_{2} B Q = E_{n \times t}^{(r_{2})}$

$(\begin{matrix} P_{1} \\ P_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) (\begin{matrix} Q_{1} \\ Q_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} E_{s \times n}^{(r_{1})} \\ E_{n \times t}^{(r_{2})} \end{matrix})$

$\begin{aligned} r (\begin{matrix} A & O \\ C & B \end{matrix}) & = r ((\begin{matrix} P_{1} \\ P_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} A & O \\ C & D \end{matrix}) (\begin{matrix} Q_{1} \\ Q_{2} \end{matrix})) \\ = r (\begin{matrix} P_{1} A Q_{1} & O \\ P_{2} C Q_{1} & P_{2} B Q_{2} \end{matrix}) \\ = r (\begin{matrix} E_{s \times n}^{(r_{1})} \\ E_{n \times t}^{(r_{2})} \end{matrix}) \geq r_{1} + r_{2} \end{aligned}$

秩与正交 若 $A_{s \times n} B_{n \times t} = O$ ，则 $r (A) + r (B) \leq n$ .

逆矩阵与伴随矩阵的秩

设 $n \geq 2$ ， $A_{n \times n}$ ，则 $r (A^{*}) = {\begin{aligned} n, & r (A) = n \\ 1, & r (A) = n - 1 \\ 0, & r (A) < n - 1. \end{aligned}$

若方阵 $A$ 可逆， $r (A) = r (A^{*}) = n$ .

消去律

当 $A_{m \times n}$ 列满秩（ $r (A_{m \times n}) = n$ ）时，若 $A B = A C$ ，则 $B = C$ .

行列式 ​

1.1 矩阵的基本概念 ​

1.1.1 矩阵的概念 ​

1.1.2 几种特殊矩阵 ​

方阵 ​

向量 ​

零矩阵 ​

对角、数量、单位矩阵 ​

三角矩阵 ​

行列阶梯矩阵 ​

行最简形矩阵 ​

1.2 矩阵的基本运算 ​

1.2.1 矩阵的线性运算 ​

矩阵关系 ​

矩阵加法 ​

矩阵数乘 ​

1.2.2 矩阵的乘法 ​

矩阵相乘 ​

运算律 ​

可交换 ​

乘特殊矩阵 ​

乘对角矩阵 ​

矩阵的方幂 ​

矩阵多项式 ​

1.2.3 矩阵的转置 ​

转置 ​

转置的性质 ​

对称矩阵与反对称矩阵 ​

1.3 分块矩阵 ​

1.3.1 基本概念 ​

1.3.2 常见分块矩阵 ​

按列分块 ​

按行分块 ​

分块对角矩阵 ​

1.3.3 基本运算 ​

分块矩阵的加法 ​

分块矩阵的数乘 ​

分块矩阵的乘法 ​

分块矩阵的转置 ​

1.4 初等变换与初等矩阵 ​

1.4.1 初等变换 ​

线性方程组 ​

初等变换 ​

矩阵等价 ​

用初等变换化简矩阵 ​

1.4.2 初等矩阵 ​

三种初等矩阵 ​

初等矩阵与初等变换 ​

标准分解 ​

1.5 方阵的逆矩阵 ​

1.5.1 逆矩阵的概念 ​

可逆运算 ​

矩阵可逆的判定 ​

矩阵可逆的性质 ​

1.5.2 初等矩阵与可逆矩阵 ​

1.5.3 用初等变换求逆矩阵 ​

求逆矩阵的方法 ​

解矩阵方程的方法 ​

1.6 方阵的行列式 ​

1.6.1 行列式的定义 ​