二次型

5.1 二次型及其矩阵表示

5.1.1 二次型的定义

二次型

​ 含有$n$个变量的多项式中每一项次数均为二次，该多项式称为$n$元二次型。

​ 由某个变量的平方构成的项称为平方项，两个变量相乘构成的项称为交叉项。

二次型的矩阵表示

​ 二次型的一般形式：

$$\begin{array}{rl}f(x_1,\cdots ,x_n)=a_{11}{x}_1^2+& 2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+\cdots +2a_{1n}{x}_1{x}_n\\ +& a_{22}{x}_2^2+2a_{23}{x}_2{x}_3+\cdots +2a_{2n}{x}_2{x}_n\\ & \cdots \\ +& a_{nn}{x}_n^2\end{array}$$

​ 令$a_{ij}=a_{ji}(1\le j<i\le n)$，即将交叉项的系数平分为两项，该二次型可以写成：

$$\begin{array}{rlrlrlr}f(x_1,\cdots ,x_n)=& a_{11}{x}_1^2& +& a_{12}{x}_1{x}_2& +a_{13}{x}_1{x}_3& +\cdots +& a_{1n}{x}_1{x}_n\\ +& a_{21}{x}_2{x}_1& +& a_{22}{x}_2^2& +a_{23}{x}_2{x}_3& +\cdots +& a_{2n}{x}_2{x}_n\\ & \cdots \\ +& a_{n1}{x}_n{x}_1& +& a_{n2}{x}_n{x}_2& +a_{n3}{x}_n{x}_3& +\cdots +& a_{nn}{x}_n^2\end{array}$$

​ 于是可以将系数整理成一个矩阵，

$$\mathit{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

​ 该矩阵称为二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)$的矩阵，是一个实对称矩阵。显然，每个二次型的矩阵是唯一的，这个矩阵和二次型的关系为

$$f(x_1,\cdots ,x_n)=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

​ 令$\mathit{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$，该式也可写作$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$.

可逆线性变换

​ 令$\mathit{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$，如果$\mathit{P}$为$n$阶可逆矩阵，则$\mathit{x}=\mathit{P}\mathit{y}$称为一个可逆线性变换。

​ $n$元二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$经过可逆线性变换$\mathit{x}=\mathit{P}\mathit{y}$变成

$$g(y_1,\cdots ,y_n)=(\mathit{P}\mathit{y}{)}^{\mathrm{T}}\mathit{A}(\mathit{P}\mathit{y})={\mathit{y}}^{\mathrm{T}}({\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P})\mathit{y}$$

记$\mathit{B}={\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}$，则$g(y_1,\cdots ,y_n)={\mathit{y}}^{\mathrm{T}}\mathit{B}\mathit{y}$，由于${\mathit{B}}^{\mathrm{T}}=({\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}{)}^{\mathrm{T}}={\mathit{P}}^{\mathrm{T}}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}={\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}=\mathit{B}$，$\mathit{B}$也是对称矩阵，为二次型$g(y_1,\cdots ,y_n)$的矩阵。

标准二次型

​ 只含平方项，不含交叉项的二次型称为标准形式的二次型，简称标准形。

​ ${\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$为标准形当且仅当$\mathit{A}$为对角阵。

​ 如果二次型经过可逆线性变换使得${\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}=\left(\begin{array}{ccc}{d}_1& & \\ & \ddots & \\ & & d_n\end{array}\right)$，则该二次型被化为了标准形。二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)$经过可逆线性变换化成标准形等价于对于实对称矩阵$\mathit{A}$，找到一个可逆矩阵$\mathit{P}$，使得${\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}$为对角矩阵。

5.1.2 矩阵的合同

矩阵合同

​ 设$\mathit{A},\mathit{B}$为$n$阶矩阵，如果存在$n$阶可逆矩阵$\mathit{P}$，使得${\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}=\mathit{B}$，那么称矩阵$\mathit{A}$与$\mathit{B}$合同，记$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$.

合同的性质

​ $\mathit{A},\mathit{B},\mathit{C}$均为$n$阶矩阵：

​ 反身性：$\mathit{A}\simeq \mathit{A}$.

​ 对称性：若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$，则$\mathit{B}\simeq \mathit{A}$.

​ 传递性：若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$，$\mathit{B}\simeq \mathit{C}$，则$\mathit{A}\simeq \mathit{C}$.

​ 若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$，则$\mathrm{r}(\mathit{A})=\mathrm{r}(\mathit{B})$.

​ 若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$，则$\mathit{A}$是对称矩阵和$\mathit{B}$是对称矩阵互为充要条件。

​ 若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$，$\mathit{A}$、$\mathit{B}$均可逆，则${\mathit{A}}^{-1}\simeq {\mathit{B}}^{-1}$.

​ 若$\mathit{A}\simeq \mathit{B}$，则${\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\simeq {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}$.

​ 若$\mathit{A}$为实对称矩阵，则$\mathit{A}$合同于对角阵。

5.2 化二次型为标准形

5.2.1 用正交变换化二次型为标准形

正交变换

​ 设$\mathit{Q}$为正交矩阵，那么$\mathit{x}=\mathit{Q}\mathit{y}$称为一个正交变换，这是一种特殊的可逆线性变换。

​ 正交变换的一个重要作用是它能保持向量的长度，

$$\begin{array}{rl}\parallel \mathit{x}\parallel & =\sqrt{⟨\mathit{x},\mathit{x}⟩}=\sqrt{⟨\mathit{Q}\mathit{y},\mathit{Q}\mathit{y}⟩}=\sqrt{(\mathit{Q}\mathit{y}{)}^{\mathrm{T}}\mathit{Q}\mathit{y}}\\ & =\sqrt{{\mathit{y}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}^{\mathrm{T}}\mathit{Q}\mathit{y}}=\sqrt{{\mathit{y}}^{\mathrm{T}}\mathit{y}}=\sqrt{⟨\mathit{y},\mathit{y}⟩}=\parallel \mathit{y}\parallel \end{array}$$

主轴定理

​ 二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$可经正交变换$\mathit{x}=\mathit{Q}\mathit{y}$化成标准形${\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$，其中${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$为$\mathit{A}$的特征值。

5.2.2 用配方法化二次型为标准形

配方法化二次型为标准形

​ 对于一般的二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)$，先集中所有含$x_1$的项，将其配成平方项并确保剩余的式子不再含有$x_1$。然后对剩余的式子集中所有含$x_2$的项，重复该过程直到将所有项配成平方项。

​ ⚠️注意，线性变换的表达式为$\mathit{x}=\mathit{P}\mathit{y}$，而不是$\mathit{y}=\mathit{P}\mathit{x}$.

​ 如果二次型不含平方项，可以令

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =y_1+y_2\\ x_2& =y_1-y_2\\ x_3& =y_3\\ & ⋮\\ x_n& =y_n\end{array}$$

先进行一步线性变换，得到新的二次型后继续使用配方法。

初等变换化二次型为标准形

​ 对于二次型的矩阵$\mathit{A}$，构造$\left(\begin{array}{c}\mathit{A}\\ \mathit{E}\end{array}\right)$. 对$\mathit{A}$作初等行变换，并对于每一步的初等行变换都配套进行相同的初等列变换（即对$\mathit{A}$每次左乘初等矩阵${\mathit{P}}_0$时右乘${\mathit{P}}_0^{\mathrm{T}}$）。当$\mathit{A}$被转化为对角矩阵时，即为二次型的标准形的矩阵。$\mathit{E}$位置对应的矩阵即为从原二次型转换为新二次型的线性变换$\mathit{P}$。

5.3 正定二次型

5.3.1 惯性定理

二次型的秩

​ 对于二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$，称$\mathit{A}$的秩为这个二次型的秩，记为$\mathrm{r}(f)$.

​ 线性变换不改变二次型的秩。

二次型的规范型

​ 上述将二次型从一般形式转化为标准形的过程都可以继续进行，直到将二次型转化为$z_1^2+\cdots +z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots -z_r^2$的形式。即：所有的系数均为0、1或-1，且各项系数按照1、-1、0的顺序排列。这种形式称为二次型的规范型。

​ 即对于$n$阶对称实矩阵$\mathit{A}$，存在可逆矩阵$\mathit{P}$，使得

$${\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{P}=\left(\begin{array}{c}1\\ & \ddots \\ & & 1\\ & & & -1\\ & & & & \ddots \\ & & & & & -1\\ & & & & & & 0\\ & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathit{E}}_{p\times p}\\ & -{\mathit{E}}_{q\times q}\\ & & \mathit{O}\end{array}\right)$$

该矩阵即为二次型的规范型的矩阵。其中$p$也称为$\mathit{A}$的正惯性指数，$q$称为$\mathit{A}$的负惯性指数。二次型的秩$\mathrm{r}=p+q$.

惯性定理

​ 二次型的规范型是唯一的。

5.3.2 二次型的正定性

正定性、负定性

​ 若对于任意非零实向量$\mathit{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$，总有$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}>0$，则称$f(x_1,\cdots ,x_n)$为正定二次型，它对应的矩阵为正定矩阵。

​ 若$f(x_1,\cdots ,x_n)<0$、$\ge 0$、$\le 0$，则分别称为负定、半正定、半负定。

​ 可逆线性变换不改变二次型的正定性。

正定矩阵的性质

​ 矩阵$\mathit{A}$为正定矩阵，与以下条件为充要关系：

​ (1) $\mathit{A}$的正惯性指数为$n$

​ (2) $\mathit{A}$的特征值均大于$0$.

​ (3) $\mathit{A}\simeq \mathit{E}$

​ (4) 存在可逆矩阵$\mathit{P}$，使得$\mathit{A}={\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}$

Sylvester定理

​ 二次型$f(x_1,\cdots ,x_n)={\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{x}$是正定的的充分必要条件是其矩阵$\mathit{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$的各阶顺序主子式${\mathrm{\Delta }}_n$均大于0.

​ $\begin{array}{rl}{\mathrm{\Delta }}_1& =a_{11}\\ {\mathrm{\Delta }}_2& =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\\ ⋮\\ {\mathrm{\Delta }}_n& =\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\end{array}$

矩阵正定的推论

​ 矩阵$\mathit{A}$为正定矩阵，$|\mathit{A}|>0$.

​ 若$\mathit{A}$正定，${\mathit{A}}^{-1}$、${\mathit{A}}^{\ast }$、${\mathit{A}}^k$也正定。

​ 若$\mathit{A}$正定，$\mathit{B}$正定或半正定，$\mathit{A}+\mathit{B}$正定。

​ 若$\mathit{A}$正定，则$\mathit{A}$的主对角线元素全部大于0.

5.4 二次曲面

​ 椭球面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=1$

​ 虚椭球面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=-1$

​ 点：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=0$

​ 单叶双曲面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}-{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=1$

​ 双叶双曲面：$-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=1$

​ 二次锥面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}-{\displaystyle \frac{z^2}{c^2}}=0$

​ 椭圆抛物面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=z$

​ 双曲抛物面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=z$

​ 椭圆柱面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

​ 虚椭圆柱面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=-1$

​ 直线$z$轴：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=0$

​ 双曲柱面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

​ 一对相交平面：${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=0$

​ 一对平行平面：$x^2=a^2$

​ 一对虚平行平面：$x^2=-a^2$

​ 一对重合平面：$x^2=0$

​ 抛物柱面：$x^2=2py$