矩阵的特征值和特征向量

4.1 相似矩阵

矩阵相似

​ 设$\mathit{A},\mathit{B}$为$n$阶矩阵，如果存在可逆矩阵$\mathit{P}$，使得${\mathit{P}}^{-1}\mathit{A}\mathit{P}=\mathit{B}$，则称$\mathit{A}$与$\mathit{B}$是相似的，记作$\mathit{A}\sim \mathit{B}$.

矩阵相似的性质

​ $\mathit{A},\mathit{B},\mathit{C}$均为$n$阶矩阵：

​ 反身性：$\mathit{A}\sim \mathit{A}$.

​ 对称性：若$\mathit{A}\sim \mathit{B}$，则$\mathit{B}\sim \mathit{A}$.

​ 传递性：若$\mathit{A}\sim \mathit{B}$，$\mathit{B}\sim \mathit{C}$，则$\mathit{A}\sim \mathit{C}$.

​ $\mathit{A}\sim \mathit{B}$，$f(x)$为矩阵多项式，则$f(\mathit{A})\sim f(\mathit{B})$.

​ 相似矩阵的行列式相等。

​ 相似矩阵秩相同。

矩阵的迹

​ $n$阶矩阵$\mathit{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$的主对角线上元素之和称为$\mathit{A}$的迹，记为$\mathrm{tr}(\mathit{A})$，即$\mathrm{tr}(\mathit{A})=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$.

矩阵迹的性质

​ $\mathit{A},\mathit{B}$均为$n$阶矩阵，$k$为任意数，则

​ $\mathrm{tr}(\mathit{A}+\mathit{B})=\mathrm{tr}(\mathit{A})+\mathrm{tr}(\mathit{B})$

​ $\mathrm{tr}(k\mathit{A})=k\mathrm{tr}(\mathit{A})$

​ $\mathrm{tr}(\mathit{A}\mathit{B})=\mathrm{tr}(\mathit{B}\mathit{A})$

​ 相似矩阵有相同的迹。

4.2 特征值与特征向量

特征值、特征向量

​ 设$\mathit{A}$为$n$阶矩阵，如果存在数$\lambda$和非零向量$\mathit{\xi }$，满足$\mathit{A}\mathit{\xi }=\lambda \mathit{\xi }$，则称$\lambda$为$\mathit{A}$的一个特征值，$\mathit{\xi }$为$\mathit{A}$属于特征值$\lambda$的特征向量。

​ 如果$\mathit{A}\mathit{\xi }=\lambda \mathit{\xi }$，$\mathit{\xi }\ne 0$，那么$\mathrm{\forall }k$，有$\mathit{A}(k\mathit{\xi })=k(\mathit{A}\mathit{\xi })=k(\lambda \mathit{\xi })=\lambda (k\mathit{\xi })$，所以$k\mathit{\xi }$都是$\mathit{A}$属于特征值$\lambda$的特征向量。

求全部特征值与特征向量

​ 设${\lambda }_0$为$\mathit{A}$的一个特征值，$\mathit{\xi }$为属于特征值${\lambda }_0$的一个特征向量，即$\mathit{A}\mathit{\xi }={\lambda }_0\mathit{\xi }$，易知$({\lambda }_0\mathit{E}-\mathit{A})\mathit{\xi }=\mathbf{0}(\mathit{\xi }\ne \mathbf{0})$。即$\mathit{\xi }$为$({\lambda }_0\mathit{E}-\mathit{A})\mathit{x}=\mathbf{0}$的一个非零解，由齐次线性方程组有非零解的充要条件可知$|{\lambda }_0\mathit{E}-\mathit{A}|=0$.

​ 设$\mathit{A}=(a_{ij})$为$n$阶方阵，则$\lambda \mathit{E}-\mathit{A}$称为$\mathit{A}$的特征矩阵，其行列式

$$|\lambda \mathit{E}-\mathit{A}|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots & \lambda -a_{nn}\end{array}\right|$$

称为$\mathit{A}$的特征多项式，$|\lambda \mathit{E}-\mathit{A}|=0$称为$\mathit{A}$的特征方程。

​ 综上，${\lambda }_0$为$\mathit{A}$的特征值当且仅当${\lambda }_0$是$\mathit{A}$的特征多项式的一个根，$\mathit{\xi }$为$\mathit{A}$的属于特征值${\lambda }_0$的一个特征向量当且仅当$\mathit{\xi }$是齐次线性方程组$({\lambda }_0\mathit{E}-\mathit{A})\mathit{x}=\mathbf{0}$的一个非零解。

​ 所以，有求特征值与特征向量的一般方法：

​ 第一步 计算$\mathit{A}$的特征多项式$|\lambda \mathit{E}-\mathit{A}|$

​ 第二步 计算$|\lambda \mathit{E}-\mathit{A}|=0$的全部根，即为$\mathit{A}$的全部特征值

​ 第三步 对于每一个特征值${\lambda }_i(i=1,2,\cdots ,n)$，求齐次线性方程组$({\lambda }_i\mathit{E}-\mathit{A})\mathit{x}=\mathbf{0}$的一个基础解系${\mathit{\eta }}_1,\cdots ,{\mathit{\eta }}_t$，此时$\mathit{A}$的属于${\lambda }_i$的全部特征向量为$k_1{\mathit{\eta }}_1+\cdots +k_t{\mathit{\eta }}_t$，其中$k_1,\cdots ,k_t$为任意不全为$0$的数。

特征值的性质

​ 相似矩阵具有相同的特征多项式，有相同的特征值。但特征多项式相同的矩阵未必相似。

​ 设$n$阶矩阵$\mathit{A}=(a_{ij})$的特征值为${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$，则：

​ (1) ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=\mathrm{tr}(\mathit{A})$

​ (2) ${\lambda }_1\cdots {\lambda }_n=|\mathit{A}|$

化零多项式

​ 矩阵$\mathit{A}$的化零多项式是一个非零多项式$p(x)$使得$p(\mathit{A})=\mathbf{0}$。换句话说，将矩阵$\mathit{A}$带入该多项式后得到零矩阵。化零多项式的根是$\mathit{A}$的特征值。

​ 同一个矩阵的化零多项式可以有很多。

​ Cayley-Hamilton定理 $\mathit{A}$的特征多项式$c(x)$是$\mathit{A}$的一个化零多项式。

最小多项式

​ 最小多项式是一个矩阵$\mathit{A}$上的最小次数的化零多项式。它是次数最低的单项式，使得$m(\mathit{A})=\mathbf{0}$. 最小多项式的根是也$\mathit{A}$的特征值。

​ 同一个矩阵的最小多项式只有一个。

​ $\lambda$是$\mathit{A}$的特征值，当且仅当$\lambda$是最小多项式$m(x)$的根，即$m(\lambda )=0$.

​ $\mathit{A}$可被相似对角化，当且仅当最小多项式$m(x)$没有重根。

​ 最小多项式$m(x)$可以整除化零多项式$p(x)$、特征多项式$c(x)$.

​ 相似的矩阵一定有相同的最小多项式。

最小多项式的求法

​ 若特征多项式$\begin{array}{r}c(x)=\prod _{i=1}^s(x-{\lambda }_i{)}^{k_i}\end{array}$，${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_s$互不相同，则最小多项式一定可以写成如下形式：$\begin{array}{r}m(x)=\prod _{i=1}^s(x-{\lambda }_i{)}^{k_i}\end{array}$，其中$1\le a_i\le k_i$.

​ 计算过程：

​ 第一步 求出特征多项式。

​ 第二步 写出所有可能的候选多项式$p_1(x),\cdots ,p_t(x)$.

​ 第三步 从低次到高次带入求$p_i(x)$，判断$p_i(\mathit{A})$是否为零矩阵。

4.3 矩阵可相似对角化的条件

相似对角化

​ $n$阶矩阵$\mathit{A}$相似于对角矩阵的充分必要条件是存在$n$个线性无关的特征向量${\mathit{\xi }}_1,\cdots ,{\mathit{\xi }}_n$。

​ 此时，令$\mathit{P}=({\mathit{\xi }}_1,\cdots ,{\mathit{\xi }}_n)$，$\mathit{\Lambda }=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)$，则${\mathit{P}}^{-1}\mathit{A}\mathit{P}=\mathit{\Lambda }$.

​ 如果$\mathit{A}$相似于对角阵$\mathit{\Lambda }$，则称$\mathit{A}$可相似对角化，$\mathit{\Lambda }$称为$\mathit{A}$的相似标准形。

​ 矩阵$\mathit{A}$属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

​ 如果$n$阶矩阵$\mathit{A}$有$n$个互不相同的特征值，则$\mathit{A}$可相似对角化。

Jordan块

​ 一般来说，一个$n$阶矩阵未必相似于对角阵。例如，形如${\mathit{J}}_0={\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_0& 1\\ & {\lambda }_0& \ddots \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_0\end{array}\right)}_{k\times k}$的矩阵通常被称为$k$阶Jordan块。当$k>1$时，${\mathit{J}}_0$不能相似于对角阵。

​ 设$\mathit{A}$为$n$阶复矩阵，则$\mathit{A}$一定相似于$\mathit{J}=\left(\begin{array}{c}{\mathit{J}}_1\\ & \ddots \\ & & {\mathit{J}}_s\end{array}\right)$，其中${\mathit{J}}_i=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_i& 1\\ & {\lambda }_i& \ddots \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_i\end{array}\right)$为Jordan块，$i=1,\cdots ,s$. $\mathit{J}$称为$\mathit{A}$的Jordan标准形。如果不考虑${\mathit{J}}_1,\cdots ,{\mathit{J}}_s$的排列次序，$\mathit{J}$由$\mathit{A}$唯一确定。

​ 两个$n$阶矩阵相似的充分必要条件是它们具有相同的Jordan标准形。

​ 求Jordan标准形的方法 若$\mathit{A}\sim \mathit{J}$，则对任意多项式$\phi (x)$，有$\phi (\mathit{A})\sim \phi (\mathit{J})$. 特别地，若$\phi (x)=(\lambda -x{)}^t$，则有$(\lambda \mathit{E}-\mathit{A}{)}^t\sim (\lambda \mathit{E}-\mathit{J}{)}^t$相似，$\mathrm{r}(\lambda \mathit{E}-\mathit{A}{)}^t=\mathrm{r}(\lambda \mathit{E}-\mathit{J}{)}^t$.

​ 求出$\mathit{A}$的所有特征值及其代数重数，写出所有可能的Jordan标准形${\mathit{J}}_1,\cdots ,{\mathit{J}}_n$，计算$\mathrm{r}(\lambda \mathit{E}-\mathit{A}{)}^t$和$\mathrm{r}(\lambda \mathit{E}-\mathit{J}{)}^t$进行比较排除，剩下的即为Jordan标准形。

4.4 实矩阵的相似对角化

​ 一般而言，$n$阶矩阵$\mathit{A}$的特征值未必是实数，它也未必相似于对角矩阵。

​ 实对称矩阵的特征值为实数。

​ 实对称矩阵$\mathit{A}$的属于不同特征值的特征向量是正交的。

​ 设$\mathit{A}$为$n$阶实对称矩阵，则存在正交矩阵$\mathit{Q}$使得

$${\mathit{Q}}^{-1}\mathit{A}\mathit{Q}={\mathit{Q}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\mathit{Q}=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ & \ddots \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

其中${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$是$\mathit{A}$的特征值，$\mathit{Q}$的列向量组${\mathit{q}}_1,\cdots ,{\mathit{q}}_n$是$\mathit{A}$的分别对应于${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$的标准正交的特征向量组。